Демидович 1805. Слишком сложное решение.

[kvendingoldo]

Здравствуйте. Решал номер из Демидовича: $\int x^2arccosxdx$. Моё решение мне кажется слишком сложным. Можно ли решить этот интеграл короче?
Решение:
$\int x^2arccosxdx$
Применяем формулу интегрирования по частям:
$ u= arccosx $

$ du=- \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $

$ x^2 dx = dv $

$ v = \frac{x^3}{3} $

$\int x^2arccosxdx = \frac{1}{3} x^3 arccosx +\frac{1}{3}\int x^3 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $

Вычислим интеграл $\int x^3 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$:
Сделаем замену $ x^2 =t , dt = 2xdx$
Получим : $\frac{1}{2}\int \frac{t}{\sqrt{1-t}}dt$
Интегрируем по частям:
$u=t, du=dt$

$\frac{dt}{\sqrt{1-t}} =dv$

$v= \int \frac{dt}{\sqrt{1-t}}=-2\sqrt{1-t}$

Т.о. $\frac{1}{2}\int \frac{t}{\sqrt{1-t}}=\frac{1}{2}(-2t\sqrt{1-t}+2\int\sqrt{1-t}dt) = -\frac{1}{3} ( x^2 + 2)\sqrt{1-x^2}$

Следовательно исходный интеграл будет равен:
$\frac{1}{3}x^3arccosx-\frac{1}{9}(x^2+2)\sqrt{1-x^2}+c$

С ответом сошлось, но вычисление, в ходе решения, еще 3-4 интегралов меня смущает.

[ИСН]

Последнее "по частям" не нужно. $\frac{t}{\sqrt{1-t}}={1\over\sqrt{1-t}} - {1-t\over\sqrt{1-t}}$, эти оба берутся в лоб.

[kvendingoldo]

ИСН в сообщении #980229 писал(а):

Последнее "по частям" не нужно. $\frac{t}{\sqrt{1-t}}={1\over\sqrt{1-t}} - {1-t\over\sqrt{1-t}}$, эти оба берутся в лоб.

точно,спасибо :)

[ewert]

kvendingoldo в сообщении #980228 писал(а):

Получим : $\frac{1}{2}\int \frac{t}{\sqrt{1-t}}dt$

И вот в этот момент следует на автомате брать в качестве новой переменной $\sqrt{1-t}$.

[Sinoid]

kvendingoldo в сообщении #980228 писал(а):

решить этот интеграл

Опять решаем интегралы.