2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Демидович 1805. Слишком сложное решение.
Сообщение19.02.2015, 16:01 


28/07/14
68
Здравствуйте. Решал номер из Демидовича: $\int x^2arccosxdx$. Моё решение мне кажется слишком сложным. Можно ли решить этот интеграл короче?
Решение:
$\int x^2arccosxdx$
Применяем формулу интегрирования по частям:
$ u= arccosx $

$ du=- \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $

$ x^2 dx = dv $

$ v = \frac{x^3}{3} $

$\int x^2arccosxdx = \frac{1}{3} x^3 arccosx +\frac{1}{3}\int x^3 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $

Вычислим интеграл $\int x^3 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$:
Сделаем замену $ x^2 =t , dt = 2xdx$
Получим : $\frac{1}{2}\int \frac{t}{\sqrt{1-t}}dt$
Интегрируем по частям:
$u=t, du=dt$

$\frac{dt}{\sqrt{1-t}} =dv$

$v= \int \frac{dt}{\sqrt{1-t}}=-2\sqrt{1-t}$

Т.о. $\frac{1}{2}\int \frac{t}{\sqrt{1-t}}=\frac{1}{2}(-2t\sqrt{1-t}+2\int\sqrt{1-t}dt) = -\frac{1}{3} ( x^2 + 2)\sqrt{1-x^2}$

Следовательно исходный интеграл будет равен:
$\frac{1}{3}x^3arccosx-\frac{1}{9}(x^2+2)\sqrt{1-x^2}+c$

С ответом сошлось, но вычисление, в ходе решения, еще 3-4 интегралов меня смущает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1805. Слишком сложное решение.
Сообщение19.02.2015, 16:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Последнее "по частям" не нужно. $\frac{t}{\sqrt{1-t}}={1\over\sqrt{1-t}} - {1-t\over\sqrt{1-t}}$, эти оба берутся в лоб.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1805. Слишком сложное решение.
Сообщение19.02.2015, 16:11 


28/07/14
68
ИСН в сообщении #980229 писал(а):
Последнее "по частям" не нужно. $\frac{t}{\sqrt{1-t}}={1\over\sqrt{1-t}} - {1-t\over\sqrt{1-t}}$, эти оба берутся в лоб.

точно,спасибо :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1805. Слишком сложное решение.
Сообщение19.02.2015, 17:06 
Заслуженный участник


11/05/08
31481
kvendingoldo в сообщении #980228 писал(а):
Получим : $\frac{1}{2}\int \frac{t}{\sqrt{1-t}}dt$

И вот в этот момент следует на автомате брать в качестве новой переменной $\sqrt{1-t}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1805. Слишком сложное решение.
Сообщение19.02.2015, 23:05 


03/06/12
1696
kvendingoldo в сообщении #980228 писал(а):
решить этот интеграл

Опять решаем интегралы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group