Полупрямое произведение групп.

[3.14]

Здравствуйте, участники форума. У меня возник такой вопрос : чему равно $C_3 \rtimes C_4$, где $C_n$ - циклическая группа порядка $n$, $\rtimes$ - полупрямое произведение групп ? В Википедии сказано, что группу $C_m \rtimes C_n$ можно представить как группу $G = \langle a, \ b \ | \ a^m = b^n = e, \ aba^{-1} = b^k \rangle$, где $C_m = \langle a \rangle$, $C_n = \langle b \rangle$, $k$ взаимно прост с $n$. В нашем случае можно взять $k = 3$ и тогда $C_3 \rtimes C_4 \cong \langle a, \ b \ | \ a^3 = b^4 = e, \ aba^{-1} = b^3 \rangle$. Правильно ли я понял то, что написано в Вики ? Или есть ли какие-нибудь другие соображения насчет полупрямого произведения этих групп ?

[AV_77]

В $C_m \rtimes C_n$ нормальной подгруппой является $C_m$. Поэтому, если $C_m = \langle a \rangle$ и $C_n = \langle b \rangle$, то $C_m \rtimes C_n = \langle a, b \mid a^m = b^n = 1, bab^{-1} = a^k \rangle$.

[3.14]

То есть просто $C_3 \rtimes C_4 = \langle a, \ b \ | \ a^3 = b^4 = e, \ bab^{-1} = a^3 \rangle$ ? Не совсем понял почему из-за нормальности $C_m$ нужно в последнем равенстве $b$ с $a$ поменять местами.

[AV_77]

3.14 в сообщении #979976 писал(а):

То есть просто $C_3 \rtimes C_4 = \langle a, \ b \ | \ a^3 = b^4 = e, \ bab^{-1} = a^3 \rangle$ ?

Уж точно нет. Так просто не может быть :)

3.14 в сообщении #979976 писал(а):

Не совсем понял почему из-за нормальности $C_m$ нужно в последнем равенстве $b$ с $a$ поменять местами.

Потому, что у вас $\langle a \rangle$ нормальная подгруппа, а $\langle b \rangle$ действует на ней.

[3.14]

Что-то я совсем запутался ) я не пойму как подбирать число $k$ )

[AV_77]

Отображение $a \mapsto bab^{-1}$ должно быть автоморфизмом группы $\langle a \rangle$.