2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Полупрямое произведение групп.
Сообщение18.02.2015, 21:52 


26/08/09
197
Асгард
Здравствуйте, участники форума. У меня возник такой вопрос : чему равно $C_3 \rtimes C_4$, где $C_n$ - циклическая группа порядка $n$, $\rtimes$ - полупрямое произведение групп ? В Википедии сказано, что группу $C_m \rtimes C_n$ можно представить как группу $G = \langle a, \ b \ | \ a^m = b^n = e, \ aba^{-1} = b^k \rangle$, где $C_m = \langle a \rangle$, $C_n = \langle b \rangle$, $k$ взаимно прост с $n$. В нашем случае можно взять $k = 3$ и тогда $C_3 \rtimes C_4 \cong \langle a, \ b \ | \ a^3 = b^4 = e, \ aba^{-1} = b^3 \rangle$. Правильно ли я понял то, что написано в Вики ? :D Или есть ли какие-нибудь другие соображения насчет полупрямого произведения этих групп ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Полупрямое произведение групп.
Сообщение18.02.2015, 22:08 
Заслуженный участник


11/11/07
1193
Москва
В $C_m \rtimes C_n$ нормальной подгруппой является $C_m$. Поэтому, если $C_m = \langle a \rangle$ и $C_n = \langle b \rangle$, то $C_m \rtimes C_n = \langle a, b \mid a^m = b^n = 1, bab^{-1} = a^k \rangle$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полупрямое произведение групп.
Сообщение18.02.2015, 22:21 


26/08/09
197
Асгард
То есть просто $C_3 \rtimes C_4 = \langle a, \ b \ | \ a^3 = b^4 = e, \ bab^{-1} = a^3 \rangle$ ? Не совсем понял почему из-за нормальности $C_m$ нужно в последнем равенстве $b$ с $a$ поменять местами. :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Полупрямое произведение групп.
Сообщение18.02.2015, 22:36 
Заслуженный участник


11/11/07
1193
Москва
3.14 в сообщении #979976 писал(а):
То есть просто $C_3 \rtimes C_4 = \langle a, \ b \ | \ a^3 = b^4 = e, \ bab^{-1} = a^3 \rangle$ ?

Уж точно нет. Так просто не может быть :)

3.14 в сообщении #979976 писал(а):
Не совсем понял почему из-за нормальности $C_m$ нужно в последнем равенстве $b$ с $a$ поменять местами. :oops:

Потому, что у вас $\langle a \rangle$ нормальная подгруппа, а $\langle b \rangle$ действует на ней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полупрямое произведение групп.
Сообщение18.02.2015, 23:35 


26/08/09
197
Асгард
Что-то я совсем запутался ) я не пойму как подбирать число $k$ )

 Профиль  
                  
 
 Re: Полупрямое произведение групп.
Сообщение20.02.2015, 21:35 
Заслуженный участник


11/11/07
1193
Москва
Отображение $a \mapsto bab^{-1}$ должно быть автоморфизмом группы $\langle a \rangle$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group