Крышка минимальной площади

[ex-math]

grizzly
Мне казалось, что круг должен касаться двух сторон, а центроид -- лежать на окружности. По крайней мере, при заданном треугольнике раздуть круг дальше не получится. Сложно понять, будет ли касание третьей стороны необходимым.

[grizzly]

ex-math
Для Вашего варианта построения.
Рассмотрим касательную к окружности, проходящую через центроид. Она делит треугольник на 2 фигуры. Теперь возможны 2 варианта: (а) круг вписан в треугольник; (б) круг внутри четырёхугольника.

В Варианте (а) легко видеть, что оптимальной будет конфигурация с равносторонними (и меньшим и общим большим) треугольниками. Это следует из того, что
(для меньшего треугольника) наименьшая площадь описанного треугольника реализуется на равностороннем треугольнике и
(для общего треугольника) площадь в оптимальном случае просто пересчитывается с коэффициентом 4/9. В других случаях будет хуже.

Поскольку равносторонний проигрывает указанному примеру равнобедренного, значит оптимум достигается в Варианте (б). Здесь, если круг не вписан в четырёхугольник, то простыми шевелениями можно улучшить отношение.

[atlakatl]

ex-math, grizzly, проще просто посчитать этот вариант:

На $100 \cdot(6,75/6-1)=12,5$% больше первого варианта.

[grizzly]

atlakatl
Отмечу, не проверяя деталей: разница должна быть раза в полтора, не меньше.

[atlakatl]

grizzly в сообщении #979821 писал(а):

Отмечу, не проверяя деталей: разница должна быть раза в полтора, не меньше.

Да, опять лоханулся.
Разница между вариантами $100 \cdot (11,691/7,348-1)=59$%.