Крышка минимальной площади

[atlakatl]

Есть круг единичного радиуса. Его полностью покрывает треугольник. - Причём центр тяжести треугольника выступает за пределы круга.
Найти треугольник минимальной площади.

[Evgenjy]

Его площадь у меня получилась
$\frac{27\sqrt{3}}{4}$

[atlakatl]

Evgenjy в сообщении #979273 писал(а):

Его площадь у меня получилась
$\frac{27\sqrt{3}}{4}$

У меня получается площадь меньше.

[ИСН]

У меня тоже. Давайте торговаться: могу меньше 10.

[grizzly]

Меньше чем 7,35.
Кто меньше?

-- 16.02.2015, 22:23 --

Есть ещё небольшой зазор до $3\sqrt{6}$, но ведь центроид не должен касаться окружности.

[ИСН]

grizzly в сообщении #979297 писал(а):

Меньше чем 7,35.

Ну что ж Вы сразу все карты-то на стол!? Надо было деликатно: дескать, могу меньше 9.

[grizzly]

(ИСН)

Да, поспешил. И ведь сразу сообразил, что это игра с Вашей стороны, но не догадался так поддержать :)
"Зря пошёл я в пику, а не в черву".

[ИСН]

(Оффтоп)

Цитата:

Но прежде чем черный лакированный молоточек ударился о фанерную кафедру, Остап повернулся, выбросил вверх руку и негромко сказал:
– Три корня из шести!

[atlakatl]

grizzly в сообщении #979297 писал(а):

Есть ещё небольшой зазор до $3\sqrt{6}$, но ведь центроид не должен касаться окружности.

У меня получается меньше.
Пусть касается.

[grizzly]

Рискну ещё двумя очками репутации:
atlakatl, Вы, часом, не блефуете? Вскроем карты?

[atlakatl]

grizzly в сообщении #979507 писал(а):

Вскроем карты?

Не блефую. Могу ошибаться. Проверяйте. И свои варианты выкладывайте.
http://itmages.ru/image/view/2289148/6651241b

[grizzly]

atlakatl в сообщении #979517 писал(а):

Могу ошибаться.

Можете.

atlakatl в сообщении #979517 писал(а):

И свои варианты выкладывайте.

Ну, рисунок у меня тот же, только надписи другие:
Центр тяжести (центроид) треугольника находится в точке пересечения медиан. А они, как известно, делятся этим центром в отношении 1:2. Так что там, где у Вас $4\cdot \cos{\alpha}$ у меня просто 4. Остальные уравнения такие же.

[atlakatl]

grizzly в сообщении #979519 писал(а):

Центр тяжести (центроид) треугольника находится в точке пересечения медиан. А они, как известно, делятся этим центром в отношении 1:2

Спасибо.
Блин, про 2:1 из головы вылетело. Я моменты стал интегрировать, - где-то напортачил.

ИСН в сообщении #979338 писал(а):

Цитата:

Но прежде чем черный лакированный молоточек ударился о фанерную кафедру, Остап повернулся, выбросил вверх руку и негромко сказал:
– Три корня из шести!

[ex-math]

Можно ли как-то показать, что меньше получить нельзя?

[grizzly]

ex-math в сообщении #979617 писал(а):

Можно ли как-то показать, что меньше получить нельзя?

Я исходил из такого рассуждения:
1) Круг должен быть вписан в многоугольник, ограниченный сторонами треугольника и прямой, проходящей через центроид (если он не будет вписан, можно будет оптимизировать шевелениями).
2) Из таких многоугольников оптимальный (по соотношению площадей) вписанный круг будет иметь равнобокая трапеция (когда линия, проходящая через центроид параллельна стороне треугольника). Это при ограничениях п.1) максимально близкое к идеальному решению -- квадрату.
3) К тому же в условиях п.2) прямая, проходящая через центроид, отсекает "холостой" треугольник минимальной площади (по сравнению с другими вариантами расположения прямой, проходящей через центроид).
Надёжнее, конечно, решить какую-то задачу оптимизации, но лень :)