2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать равенство из Шарыгина
Сообщение17.02.2015, 14:30 


17/02/15
4
Помогите разобраться, в самом курсе упоминается замена переменных, но я так и не понял, как и что заменить в этом задании.
Упражнение 18:
$(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=3(x+y)(y+z)(z+x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равенство из Шарыгина
Сообщение17.02.2015, 14:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Да не надо ничего заменять. Скобки раскрывать умеете?

-- менее минуты назад --

Есть другой вариант, с разложением левой части напрямую, но во-первых, там надо знать и разность кубов, и их сумму, а во-вторых, там тоже не надо ничего заменять.

-- менее минуты назад --

И да, там тоже придётся потом раскрывать кое-какие скобки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равенство из Шарыгина
Сообщение17.02.2015, 15:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4625
Нов-ск

(Оффтоп)

lred в сообщении #979543 писал(а):
Помогите разобраться, в самом курсе упоминается замена переменных, но я так и не понял, как и что заменить в этом задании.
Упражнение 18:
$(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=3(x+y)(y+z)(z+x)$

Делаем замену: $x=a, \; y=b, \; z=c.$
Очевидно (доказывается в уме), что $(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(c+a).$
Осталось вернуться к исходным переменным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равенство из Шарыгина
Сообщение17.02.2015, 15:53 


17/02/15
4
А, ну таким способом я сделал, просто думал, может есть путь хитрее. Ну ладно, видать нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равенство из Шарыгина
Сообщение17.02.2015, 16:21 
Заслуженный участник


11/05/08
31483
Ну можно, например, заметить, что точки $-y,\ -z$ являются корнями левой части относительно переменной $x$. В силу симметрии тогда это выражение должно раскладываться как $A(x+y)(x+z)(y+z)$. А почему именно $A=3$? -- например, можно чуть-чуть прираскрыть скобки слева и посмотреть на коэффициент при $x^2$.

Непонятно, правда, чем это лучше тупого и всеобщего раскрытия скобок. Тем более что явно их можно не раскрывать: достаточно обратить внимание на то, что в левой части после раскрытия и сокращения останется $3^3-3=24$ слагаемых, а в правой -- тоже $24=3\cdot2^3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равенство из Шарыгина
Сообщение17.02.2015, 20:33 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
lred в сообщении #979543 писал(а):
Помогите разобраться, в самом курсе упоминается замена переменных, но я так и не понял, как и что заменить в этом задании.

Слева $x$ заменяется на $-y$. Как уже сказал ewert, тогда левая часть зануляется. Далее очевидно (см. пред. пост).

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равенство из Шарыгина
Сообщение17.02.2015, 21:50 
Заслуженный участник


11/05/08
31483
мат-ламер в сообщении #979640 писал(а):
Слева $x$ заменяется на $-y$.

Только это не называется заменой переменной(ых). Увы. Вот у TOTAL была воистину замена так замена. Так что сия тайна так до сих пор и остаётся покрытой мраком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равенство из Шарыгина
Сообщение17.02.2015, 22:32 


03/06/12
1696
Эта задача на симметрические многочлены, попробуйте левую и правую части выразить через основные симм. многочлены - вот вам и замена переменных! Я такие тождества кучами доказывал, когда читал книгу Виленкина Симметрия в алгебре.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равенство из Шарыгина
Сообщение17.02.2015, 22:35 
Заслуженный участник


11/05/08
31483
Раньше микроскопы были хорошие, увесистые. Стукнешь таким раз -- и гвоздь сразу по самую шляпку. А сейчас фитюльки какие-то пошли...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group