СТО. Вопрос по условию задачи.

[tech]

Верно ли я понимаю, что во всех этих суммах нужно перейти к пределу $n\to\infty$?
Я, вообще, в правильном направлении иду?
Как перейти в выражении, где есть $C_n^k$, к пределу $n\to\infty$?

[Munin]

tech в сообщении #979022 писал(а):

Верно ли я понимаю, что во всех этих суммах нужно перейти к пределу $n\to\infty$?

Я бы сказал так, нужно перейти к совместному пределу $n\to\infty,\quad d\beta\to 0,$ такому что $n\,d\beta\to\theta$ - конечному ненулевому числу. (При этом, я его обозначил иначе, потому что на самом деле будет $\theta\ne\beta.$)

tech в сообщении #979022 писал(а):

Я, вообще, в правильном направлении иду?

Посмотрим, когда дойдёте.

Вам эти выражения не напоминают разложение каких-нибудь функций по ряду Тейлора?

[Sicker]

tech
Нам все в одно мгновение находится из решения диффура

[Munin]

Sicker в сообщении #978682 писал(а):

Munin в сообщении #978543 писал(а):

"привести пример двух матриц $3\times 3$ таких, что $\operatorname{rk}(AB)=2$ и $\operatorname{rk}(BA)=3$"

такое невозможно

Ответ правильный. И я это сообразил и доказал, что элементарно :-) Но полчаса, повторяю, потребовалось.

-- 16.02.2015 18:49:22 --

Sicker в сообщении #979189 писал(а):

Нам все в одно мгновение находится из решения диффура

Ха, как он всё это сделал, так теперь "в одно мгновенье"! А напомнить, как долго сам мучился? :-)

[provincialka]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #979198 писал(а):

Но полчаса, повторяю, потребовалось.

Вот уж от кого не ожидала. Вы источник сюрпризов.

[tech]

Munin в сообщении #979174 писал(а):

Я бы сказал так, нужно перейти к совместному пределу $n\to\infty,\quad d\beta\to 0,$ такому что $n\,d\beta\to\theta$ - конечному ненулевому числу. (При этом, я его обозначил иначе, потому что на самом деле будет $\theta\ne\beta.$)

Аа, вот оно что, немножко понял.
$\theta$ и будет тем углом, который будет задавать матрицу "гиперболического поворота": $\begin{pmatrix}\ch\theta&\sh\theta\\\sh\theta&\ch\theta\\\end{pmatrix}$

$$\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}C_n^{2k}x^{2k}=\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}\frac{(n-1)...(n-(2k-1))}{n^{2k-1}}\frac{\theta^{2k}}{(2k)!},\ \theta=n d\beta$$

Всё больше и больше напоминает $\ch\theta$, особенно если учесть, что $\frac{(n-1)...(n-(2k-1))}{n^{2k-1}}\sim 1,\ n\to\infty$, вот только я не уверен, что от этого множителя можно так просто избавиться.

-- 16.02.2015, 19:41 --

А хотя нет, почему же нельзя. Можно, и тогда получается $\ch\theta$.

-- 16.02.2015, 19:46 --

Круто, не ожидал, что в СТО всплывёт задача на ряды.

[provincialka]

tech в сообщении #979229 писал(а):

Круто, не ожидал, что в СТО всплывёт задача на ряды.

Надо бы ссылочку приберечь, потом неофитам показывать.

[Munin]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #979199 писал(а):

Вот уж от кого не ожидала. Вы источник сюрпризов.

Ха! Зато теперь я такую же задачу сразу решу! И ещё полгода примерно буду помнить :-)

tech в сообщении #979229 писал(а):

$\theta$ и будет тем углом, который будет задавать матрицу "гиперболического поворота"

Ага. В СТО у этого угла есть ещё отдельное название: быстрота (rapidity).

tech в сообщении #979229 писал(а):

Круто, не ожидал, что в СТО всплывёт задача на ряды.

Ну это так, не задача, а "отклонение в сторону", "вариация на тему". По сути, всевозможные преобразования Лоренца (включая повороты и композиции буста с поворотом) образуют некоторую группу с операцией композиции ("сложение скоростей"), которая представляет собой некоторую искривлённую поверхность (шестимерную) в пространстве матриц $4\times 4.$ Эта группа аналогична группе трёхмерных вращений, и такие группы (бесконечные и параметризуемые непрерывными параметрами) называются группами Ли. Вот эту непрерывность мы и используем: по группе можно передвигаться бесконечно малыми короткими шажками, и $\Lambda_\beta=\Lambda_{d\beta_1}\cdot\Lambda_{d\beta_2}\cdot\ldots\cdot\Lambda_{d\beta_\infty}$ - мультипликативный аналог интеграла, который можно символически записать в виде экспоненты: $\Lambda_\beta=\exp\bigl(\int\ln(\Lambda_{d\beta})\bigr).$

Эта тема и математически очень интересна, и физически всплывает во многих местах: такие группы встречаются в квантовой механике, в теории элементарных частиц, в физике твёрдого тела. Ну и разумеется, на них построены СТО и ОТО.

[tech]

Хм, а теперь я хочу понять, о каком таком дифференциальном уравнении писал Sicker. Не подскажете ли?
Просто перемножить много матриц – первое, что пришло в голову. А никакие дифференциальные уравнения до сих пор в голову не пришли.

[Munin]

tech в сообщении #979298 писал(а):

Хм, а теперь я хочу понять, о каком таком дифференциальном уравнении писал Sicker. Не подскажете ли?

Всё очень просто, если мы имеем $\Lambda_\beta=\Lambda_{d\beta}\cdot\Lambda_{d\beta}\cdot\ldots\cdot\Lambda_{d\beta},$ то $\dfrac{\Lambda_{\beta+d\beta}}{\Lambda_\beta}=\Lambda_{d\beta}$ - что можно переписать как $d\Lambda_\beta=(\Lambda_{d\beta}-1)\Lambda_\beta.$ Теперь то, что в скобочках, дифференциально малую матрицу, можно записать как $C\,dt,$ и получится дифференциальное уравнение

$$\dfrac{d\Lambda(t)}{dt}=C\Lambda(t).$$

Решение такого уравнения в числах было бы экспонентой, а в матрицах - оно становится матричной экспонентой, она же в нашем случае групповая экспонента. То есть, это просто другой способ посчитать тот же результат.

[svv]

Munin в сообщении #979291 писал(а):

В СТО у этого угла есть ещё отдельное название: быстрота (rapidity).

Некоторые альты успокаиваются, узнав, что быстрота относительного движения не ограничена конечным пределом. А узнав, что с использованием быстроты формула сложения скоростей (теперь «быстрот») переписывается как $\theta=\theta_1+\theta_2$, они прямо млеют. Жаль, не все. Не замечали?

[Munin]

:-)

Как мало человеку надо для счастья!