Дифференциирование по параметру

[MestnyBomzh]

Хочу доказать, что $I(\alpha) = \int_0 ^{+ \infty} \frac{e^{-\alpha x} - e^{-\beta x}}{x} \cos( mx) dx, \alpha > 0, \beta > 0$ можно дифференциировать по параметру альфа.
Для этого необходимо, чтобы $\int_0 ^{+\infty} -\cos( mx) e^{-\alpha x}$ сходился равномерно. По всем стандартным признакам не получается. Идти через определение?

[Otta]

MestnyBomzh в сообщении #979275 писал(а):

Хочу доказать, что $I(\alpha) = \int_0 ^{+ \infty} \frac{e^{-\alpha x} - e^{-\beta x}}{x} \cos( mx) dx, \alpha > 0, \beta > 0$ можно дифференциировать по параметру альфа.

Зачем? Так надо? Если надо просто вычислить, воспользуйтесь формулой Фруллани.

[Vince Diesel]

Равномерная сходимость будет при $\alpha\ge\varepsilon>0$. Этого достаточно.

[MestnyBomzh]

Otta
там же косинус мешает. Как от него избавиться?
Vince Diesel
Да, у меня так же получилось. Я брал мажоранту ($\cos mx \leqslant 1$), а интеграл $\int_0 ^{+\infty} e^{-\alpha x}$ сходится для любого $\alpha > 0$. Но в Вейерштрассе строгая оценка сверху, не содержащая альфу. А эта оценка, все же, оставляет альфу в степени экспоненты

[Otta]

MestnyBomzh в сообщении #979301 писал(а):

там же косинус мешает.

А, сорри, я его не заметила.

MestnyBomzh в сообщении #979301 писал(а):

Я брал мажоранту ($\cos mx \leqslant 1$), а интеграл $\int_0 ^{+\infty} e^{-\alpha x}$ сходится для любого $\alpha > 0$. Но в Вейерштрассе строгая оценка сверху, не содержащая альфу. А эта оценка, все же, оставляет альфу в степени экспоненты

Ничего она не оставляет. Берите $\alpha$ на множестве, указанном Vince Diesel. Там будет равномерная сходимость.

[MestnyBomzh]

Otta
Согласен, сделав оценку $\alpha > \varepsilon$ получим сходимость, но не будет ли проблемы при достаточно малом альфа? не зря же в некоторых задачах зачастую пишут: $0 < \alpha_0 < \alpha$?

[ex-math]

MestnyBomzh
Дифференцируемость -- локальное свойство. Вам нужно, чтобы для любого положительного $\alpha$ нашелся содержащий его луч $[\varepsilon, +\infty)$.

[MestnyBomzh]

Что же, такой луч находится для любого альфа.