2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Дифференциирование по параметру
Сообщение16.02.2015, 20:48 
Аватара пользователя
Хочу доказать, что $I(\alpha) = \int_0 ^{+ \infty} \frac{e^{-\alpha x} - e^{-\beta x}}{x} \cos( mx) dx, \alpha > 0, \beta > 0$ можно дифференциировать по параметру альфа.
Для этого необходимо, чтобы $\int_0 ^{+\infty} -\cos( mx) e^{-\alpha x}$ сходился равномерно. По всем стандартным признакам не получается. Идти через определение?

 
 
 
 Re: Дифференциирование по параметру
Сообщение16.02.2015, 20:52 
MestnyBomzh в сообщении #979275 писал(а):
Хочу доказать, что $I(\alpha) = \int_0 ^{+ \infty} \frac{e^{-\alpha x} - e^{-\beta x}}{x} \cos( mx) dx, \alpha > 0, \beta > 0$ можно дифференциировать по параметру альфа.

Зачем? Так надо? Если надо просто вычислить, воспользуйтесь формулой Фруллани.

 
 
 
 Re: Дифференциирование по параметру
Сообщение16.02.2015, 20:59 
Равномерная сходимость будет при $\alpha\ge\varepsilon>0$. Этого достаточно.

 
 
 
 Re: Дифференциирование по параметру
Сообщение16.02.2015, 21:22 
Аватара пользователя
Otta
там же косинус мешает. Как от него избавиться?
Vince Diesel
Да, у меня так же получилось. Я брал мажоранту ($\cos mx \leqslant 1$), а интеграл $\int_0 ^{+\infty} e^{-\alpha x}$ сходится для любого $\alpha > 0$. Но в Вейерштрассе строгая оценка сверху, не содержащая альфу. А эта оценка, все же, оставляет альфу в степени экспоненты

 
 
 
 Re: Дифференциирование по параметру
Сообщение16.02.2015, 21:30 
MestnyBomzh в сообщении #979301 писал(а):
там же косинус мешает.

А, сорри, я его не заметила.
MestnyBomzh в сообщении #979301 писал(а):
Я брал мажоранту ($\cos mx \leqslant 1$), а интеграл $\int_0 ^{+\infty} e^{-\alpha x}$ сходится для любого $\alpha > 0$. Но в Вейерштрассе строгая оценка сверху, не содержащая альфу. А эта оценка, все же, оставляет альфу в степени экспоненты

Ничего она не оставляет. Берите $\alpha$ на множестве, указанном Vince Diesel. Там будет равномерная сходимость.

 
 
 
 Re: Дифференциирование по параметру
Сообщение16.02.2015, 22:10 
Аватара пользователя
Otta
Согласен, сделав оценку $\alpha > \varepsilon$ получим сходимость, но не будет ли проблемы при достаточно малом альфа? не зря же в некоторых задачах зачастую пишут: $0 < \alpha_0 < \alpha$?

 
 
 
 Re: Дифференциирование по параметру
Сообщение16.02.2015, 22:17 
Аватара пользователя
MestnyBomzh
Дифференцируемость -- локальное свойство. Вам нужно, чтобы для любого положительного $\alpha$ нашелся содержащий его луч $[\varepsilon, +\infty)$.

 
 
 
 Re: Дифференциирование по параметру
Сообщение16.02.2015, 23:28 
Аватара пользователя
Что же, такой луч находится для любого альфа.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group