Ковариантный и контравариантный первый орт

[arseniiv]

Есть одна как будто бы аналогия: числа Фибоначчи можно считать вот так:

$$F_n = \begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}^n\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}.$$

Эта формула (которая, очевидно, позволяет, применив бинарное возведение в степень, вычислять $F_n$ за $O(\log n)$, да ещё и упрощается — но тогда матрицы не будет) следует из рекуррентного соотношения, записанного для первой компоненты $\begin{bmatrix}F_{n+1}&F_n\end{bmatrix}^t$. Несмотря на то что по определению мы тут имеем линейную форму над, оператор над и элемент модуля $\mathbb Z^2$, никакого геометрического смысла в них искать не нужно, т. к. смысл их прямо определяется их компонентами. (Именно компонентами вообще, а не в каком-то базисе, т. к. модули $K^n$ над кольцом $K$ славятся тем, что элементы их — упорядоченные $n$-ки элементов $K$.) Соответственно, раз базис нам для конкретно этих вычислений не нужен, то ничьи ни контра-, ни ковариантные компоненты — тоже.

[serval]

А число $k^n,\ \{k,n \in N\}$ можно считать так:

$k^n=\left(1,0,0,\ldots\right) \left( \begin{array}{cccc} 1&1&0&\cdots\\ 0&2&2&\ \\ 0&0&3&\ \\ \vdots&\ &\ &\ddots\\ \end{array}\right)^n \left( \begin{array}{cccc} 1&0&0&\cdots\\ 1&1&0&\ \\ 0&1&1&\ \\ \vdots&\ &\ &\ddots\\ \end{array}\right)^{k-1} \left( \begin{array}{cccc} 1\\ 0\\ 0\\ \vdots\\ \end{array}\right) $

Для красоты матрицы можно транспонировать и поменять местами, тогда сразу получится $LU$-разложение.
Можно ли из этого представления натурального числа в натуральной степени извлечь что-нибудь содержательное?

P.S. Обратите внимание, что матрицы построены из 1-го и 2-го столбцов треугольника Паскаля в его прямоугольной записи. Аналогичные конструкции со следующими в этом множестве матрицами дают любопытный результат - среди значений таких скалярных произведений появляются простые числа.

[serval]

С $LU$-разложением я, кажется, поторопился. (В этом случае) естественным оказывается $UL$-разложение.
Забыл сказать. Матрицы квадратные. Их размерность $d\times d$ определяется исходя из $d\ge \min\{k,n+1\}$ .