Почему если долго синусом и косинусом баловаться получается

[Natalya D]

Добрый день уважаемые... вопрос из любопытства.

почему если взять любой угол и от него последовательно долго брать синус а потом косинус то в результате получается два одинаковых числа?

0,01745241 и 0,99999995?

[venja]

Думаю, что это просто корни уравнений$\sin x=x, \cos x=x$

[Профессор Снэйп]

venja писал(а):

Думаю, что это просто корни уравнений$\sin x=x, \cos x=x$

Совершенно верно. Итерационный метод сходится

Добавлено спустя 21 минуту 52 секунды:

Бр-р-р... Вгляделся в приведённые числа.

Второе похоже на единицу. Первое фиг знает на что похоже, но явно не на корни указанных уравнений.

Вопрос к автору темы: в каких единицах углы измеряете? В радианах или в градусах?

[PAV]

Все проще. Автор последовательно применяет преобразование $F(x)=\cos(\sin(x))$. Так что это должно сходится к корню уравнения $F(x)=x$.
Так и есть. Числа в радианах. Косинус первого дает второе, а синус второго - первое.

Добавлено спустя 3 минуты 47 секунд:

К автору: есть общий математический результат, что если последовательно применять к числу некоторое преобразование: $x_0$, $x_1=F(x_0)$, $x_2=F(x_1)$,...
то при выполнении определенных условий последовательность сходится к неподвижной точке этого преобразования. Неподвижная точка - такая, которая переходит в себя, т.е. корень уравнения $x=F(x)$.

[AD]

А я в детстве одним косинусом баловался, там всё сходится к 0,73908513321516064165531208767387...

А про эти числа вообще теория чисел что-нибудь говорит? Они там иррациональные?, трансцендентные?, ...?

[Профессор Снэйп]

Вроде бы корень уравнения $\cos x = x$ --- число трансцендентное. Хотя не уверен. Где-то слышал, не помню где...

[Natalya D]

Всем спасибо за развернутые ответы !!
и особенное для PAV!