2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Почему если долго синусом и косинусом баловаться получается
Сообщение26.01.2008, 13:40 
Добрый день уважаемые... вопрос из любопытства.

почему если взять любой угол и от него последовательно долго брать синус а потом косинус то в результате получается два одинаковых числа?

0,01745241 и 0,99999995?

 
 
 
 
Сообщение26.01.2008, 14:03 
Думаю, что это просто корни уравнений$\sin x=x, \cos x=x$

 
 
 
 
Сообщение26.01.2008, 14:28 
Аватара пользователя
venja писал(а):
Думаю, что это просто корни уравнений$\sin x=x, \cos x=x$


Совершенно верно. Итерационный метод сходится :)

Добавлено спустя 21 минуту 52 секунды:

Бр-р-р... Вгляделся в приведённые числа.

Второе похоже на единицу. Первое фиг знает на что похоже, но явно не на корни указанных уравнений.

Вопрос к автору темы: в каких единицах углы измеряете? В радианах или в градусах?

 
 
 
 
Сообщение26.01.2008, 14:35 
Аватара пользователя
Все проще. Автор последовательно применяет преобразование $F(x)=\cos(\sin(x))$. Так что это должно сходится к корню уравнения $F(x)=x$.
Так и есть. Числа в радианах. Косинус первого дает второе, а синус второго - первое.

Добавлено спустя 3 минуты 47 секунд:

К автору: есть общий математический результат, что если последовательно применять к числу некоторое преобразование: $x_0$, $x_1=F(x_0)$, $x_2=F(x_1)$,...
то при выполнении определенных условий последовательность сходится к неподвижной точке этого преобразования. Неподвижная точка - такая, которая переходит в себя, т.е. корень уравнения $x=F(x)$.

 
 
 
 
Сообщение26.01.2008, 18:42 
А я в детстве одним косинусом баловался, там всё сходится к 0,73908513321516064165531208767387...

А про эти числа вообще теория чисел что-нибудь говорит? Они там иррациональные?, трансцендентные?, ...? :roll:

 
 
 
 
Сообщение26.01.2008, 18:45 
Аватара пользователя
Вроде бы корень уравнения $\cos x = x$ --- число трансцендентное. Хотя не уверен. Где-то слышал, не помню где...

 
 
 
 
Сообщение27.01.2008, 00:05 
Всем спасибо за развернутые ответы !!
и особенное для PAV!

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group