Найти максимум

[SomePupil]

Вопрос такой: при каком натуральном $k$ величина $\frac{k^2}{1.001^k}$ максимальна?

Для краткости обозначим $\alpha = 1.001$. Берем производную:

$f'(k) = \frac{2k\alpha^k - k^3\alpha^{k-1}}{\alpha^{2k}}$

Приравниваем её нулю:

$2k\alpha^k - k^3\alpha^{k-1} = 0$

$2\alpha = k^2$

$k = \sqrt{2\alpha}$

Все отлично, производная слева положительна, справа - отрицательна. Значит, это максимум. Мы получили:
$k = 2$ или $k = 3$

Но, что удивительно, если подставить $k = 10$ или $k = 100$ получаются гораздо большие числа! Люди, помогите разобраться

[kp9r4d]

Производная взята неправильно.

[SomePupil]

Но $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

Тут $f(k) = k^2$ и $g(k) = \alpha^k$

$f'(k) = 2k$ и $g'(k) = k\alpha^{k-1}$

Где же ошибка?

[kp9r4d]

SomePupil в сообщении #978559 писал(а):

$g'(k) = k\alpha^{k-1}$

[SomePupil]

Аа, понятно:

$\ln{g(k)} = k\ln{\alpha}$

$\frac{g'(k)}{g(k)} = \ln{\alpha}$

$g'(k) = g(k)\ln\alpha = \alpha^k\ln\alpha$

После подстановки, получаем $k = 2000$

Спасибо

[atlakatl]

SomePupil в сообщении #978562 писал(а):

После подстановки, получаем $k = 2000$

Неправильно. Найдите производную ещё раз. И там иррациональный корень получается.
Извиняюсь, на натуральный корень внимания не обратил. Но всё равно не 2000.

[Shadow]

SomePupil в сообщении #978562 писал(а):

После подстановки, получаем $k = 2000$

Ошиблись маленько. Поскольку ищем натуральное $k$, задачу можно решить проще. Если при некотором $k$ достигается максимум необходимо (но не достаточно):
$\\f(k) \ge f(k-1)\\ f(k) \ge f(k+1)$

тоесть,

$\\ \dfrac{f(k-1)}{f(k)} \le 1\\ \\ \dfrac{f(k+1)}{f(k)} \le 1$

[atlakatl]

Shadow, чем проще?
Обычным образом берём производную, находим корень - не целочисленный - и проверяем натуральные значения, большее и меньшее корня. - В Excel, например.

[Shadow]

atlakatl, я же не говорил: нельзя. Но все таки проще, особенно если у человека проблемы с производными. Нет, все же проще. Совсем просто получается:

$$\dfrac{1}{\sqrt{\alpha}-1} \le k \le \dfrac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\alpha}-1}$$

Заметьте, разность равна 1. Между ними всегда только одно целое. (за исключением особого случая)

[bot]

Shadow в сообщении #978589 писал(а):

если у человека проблемы с производными,

то и без них можно. Берём отношение следующего члена к предыдущему и решаем простейшее квадратное неравенство.