2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти максимум
Сообщение15.02.2015, 07:48 
Аватара пользователя


07/01/15
765
Нюрба
Вопрос такой: при каком натуральном $k$ величина $\frac{k^2}{1.001^k}$ максимальна?

Для краткости обозначим $\alpha = 1.001$. Берем производную:

$f'(k) = \frac{2k\alpha^k - k^3\alpha^{k-1}}{\alpha^{2k}}$

Приравниваем её нулю:

$2k\alpha^k - k^3\alpha^{k-1} = 0$

$2\alpha = k^2$

$k = \sqrt{2\alpha}$

Все отлично, производная слева положительна, справа - отрицательна. Значит, это максимум. Мы получили:
$k = 2$ или $k = 3$

Но, что удивительно, если подставить $k = 10$ или $k = 100$ получаются гораздо большие числа! Люди, помогите разобраться

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти максимум
Сообщение15.02.2015, 08:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Производная взята неправильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти максимум
Сообщение15.02.2015, 08:07 
Аватара пользователя


07/01/15
765
Нюрба
Но $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

Тут $f(k) = k^2$ и $g(k) = \alpha^k$

$f'(k) = 2k$ и $g'(k) = k\alpha^{k-1}$

Где же ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти максимум
Сообщение15.02.2015, 08:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
SomePupil в сообщении #978559 писал(а):
$g'(k) = k\alpha^{k-1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти максимум
Сообщение15.02.2015, 08:16 
Аватара пользователя


07/01/15
765
Нюрба
Аа, понятно:

$\ln{g(k)} = k\ln{\alpha}$

$\frac{g'(k)}{g(k)} = \ln{\alpha}$

$g'(k) = g(k)\ln\alpha = \alpha^k\ln\alpha$

После подстановки, получаем $k = 2000$

Спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти максимум
Сообщение15.02.2015, 09:09 
Аватара пользователя


21/09/12
1660
SomePupil в сообщении #978562 писал(а):
После подстановки, получаем $k = 2000$

Неправильно. Найдите производную ещё раз. И там иррациональный корень получается.
Извиняюсь, на натуральный корень внимания не обратил. Но всё равно не 2000.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти максимум
Сообщение15.02.2015, 09:09 


26/08/11
1676
SomePupil в сообщении #978562 писал(а):
После подстановки, получаем $k = 2000$

Ошиблись маленько. Поскольку ищем натуральное $k$, задачу можно решить проще. Если при некотором $k$ достигается максимум необходимо (но не достаточно):
$\\f(k) \ge f(k-1)\\
f(k) \ge f(k+1)$

тоесть,

$\\ \dfrac{f(k-1)}{f(k)} \le 1\\
\\
\dfrac{f(k+1)}{f(k)} \le 1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти максимум
Сообщение15.02.2015, 09:23 
Аватара пользователя


21/09/12
1660
Shadow, чем проще?
Обычным образом берём производную, находим корень - не целочисленный - и проверяем натуральные значения, большее и меньшее корня. - В Excel, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти максимум
Сообщение15.02.2015, 09:40 


26/08/11
1676
atlakatl, я же не говорил: нельзя. Но все таки проще, особенно если у человека проблемы с производными. Нет, все же проще. Совсем просто получается:

$$\dfrac{1}{\sqrt{\alpha}-1} \le k \le \dfrac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\alpha}-1}$$

Заметьте, разность равна 1. Между ними всегда только одно целое. (за исключением особого случая)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти максимум
Сообщение16.02.2015, 13:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5492
Новосибирск
Shadow в сообщении #978589 писал(а):
если у человека проблемы с производными,

то и без них можно. Берём отношение следующего члена к предыдущему и решаем простейшее квадратное неравенство.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group