Подгруппы в группе GL(2, Q).

[3.14]

Здравствуйте, участники форума. У меня возникла проблема с описанием всех конечных подгрупп порядка 12 в группе $GL_2(\mathbb{Q})$. Я попробовал начать. Рассматриваю возможные группы порядка 12 (с точностью до изоморфизма).
$1)$ Группа $C_12$ не может быть подгруппой, где $C_n$ - циклическая группа порядка $n$. Это я смог доказать.
$2)$ Рассмотрим группу $C_6 \times C_2$. Я хочу показать, что она тоже не может быть подгруппой. Имеем, что $C_6 \cong C_3 \times C_2$ $\Rightarrow$ достаточно доказать, что группа $C_3 \times C_2 \times C_2$ не является подгруппой. Заметим, что группа $C_2 \times C_2$ является группой Клейна $V_4$, т.е. нужно показать, что группа $C_3 \times V_4$ не является подгруппой группы $GL_2(\mathbb{Q})$. Группа $V_4$ можно представить матрицами :

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \\ \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \\ \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}. $$

Пусть матрица $x$ : $C_3 = \langle x \rangle$, тогда $x$ имеет вид :

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & -1-a \end{pmatrix}, $$

причем $bc = -a^2 - a - 1 \neq 0$ . Пусть группа $C_3 \times V_4$ является подгруппой, тогда (если я не ошибаюсь )матрица $x$ должна коммутировать с матрицами из $V_4$. Тогда

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & -1-a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & -b \\ c & 1+a \end{pmatrix}. $$ $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & -1-a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ -c & 1+a \end{pmatrix}. $$

Из равенства произведений, мы получаем, что $b = c = 0$, т.е. противоречие с тем, что $bc \neq 0$. Вопрос в правильности моих действий
3)Далее, группа диэдра $D_6$ является подгруппой. Я нашел соответствующие матрицы.
4) Рассмотрим знакопеременную группу $A_4$. Я хочу показать, что она не может быть подгруппой группы $GL_2(\mathbb{Q})$. Обозначим элементы $A_4 = \lbrace e, t_1, t_2, t_3, s_1, s_2, s_3, s_4, s_5, s_6, s_7, s_8\rbrace$. Заметим, что элементы $e, t_1, t_2, t_3$ образуют группе Клейна $V_4$, то можно рассматривать их в качестве матриц :

$$ e = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \\ t_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \\ t_2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \\ t_3 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}. $$

Если $A_4$ подгруппа, то для матрицы

$$ s_1 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$

должны выполняться равенства (они выполнены для подстановок):

$$ s_1 \cdot t_1 = t_2 \cdot s_1, $$ $$ s_1 \cdot t_1 = t_3 \cdot s_1. $$

Из этих равенств мы получаем противоречие, т. к. получили, что $det(s_1) = 0$.
Остаются вопросы насчет правильности предыдущих рассуждений и еще нужна одна группа порядка 12, так как неизоморфных групп порядка 12 5 штук. Подскажите еще группу