2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Подгруппы в группе GL(2, Q).
Сообщение16.02.2015, 12:50 


26/08/09
197
Асгард
Здравствуйте, участники форума. У меня возникла проблема с описанием всех конечных подгрупп порядка 12 в группе $GL_2(\mathbb{Q})$. Я попробовал начать. Рассматриваю возможные группы порядка 12 (с точностью до изоморфизма).
$1)$ Группа $C_12$ не может быть подгруппой, где $C_n$ - циклическая группа порядка $n$. Это я смог доказать.
$2)$ Рассмотрим группу $C_6 \times C_2$. Я хочу показать, что она тоже не может быть подгруппой. Имеем, что $C_6 \cong C_3 \times C_2$ $\Rightarrow$ достаточно доказать, что группа $C_3 \times C_2 \times C_2$ не является подгруппой. Заметим, что группа $C_2 \times C_2$ является группой Клейна $V_4$, т.е. нужно показать, что группа $C_3 \times V_4$ не является подгруппой группы $GL_2(\mathbb{Q})$. Группа $V_4$ можно представить матрицами :
$$
 \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},
\\
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix},
\\
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},
\\
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}.
$$
Пусть матрица $x$ : $C_3 = \langle x \rangle$, тогда $x$ имеет вид :
$$
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & -1-a
\end{pmatrix},
$$
причем $bc = -a^2 - a - 1 \neq 0$ . Пусть группа $C_3 \times V_4$ является подгруппой, тогда (если я не ошибаюсь :oops: )матрица $x$ должна коммутировать с матрицами из $V_4$. Тогда
$$
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & -1-a
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a & -b \\
c & 1+a
\end{pmatrix}.
$$
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & -1-a
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a & b \\
-c & 1+a
\end{pmatrix}.
$$
Из равенства произведений, мы получаем, что $b = c = 0$, т.е. противоречие с тем, что $bc \neq 0$. Вопрос в правильности моих действий :D
3)Далее, группа диэдра $D_6$ является подгруппой. Я нашел соответствующие матрицы.
4) Рассмотрим знакопеременную группу $A_4$. Я хочу показать, что она не может быть подгруппой группы $GL_2(\mathbb{Q})$. Обозначим элементы $A_4 = \lbrace e, t_1, t_2, t_3, s_1, s_2, s_3, s_4, s_5, s_6, s_7, s_8\rbrace$. Заметим, что элементы $e, t_1, t_2, t_3$ образуют группе Клейна $V_4$, то можно рассматривать их в качестве матриц :
$$
 e
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},
\\
t_1
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix},
\\
t_2
=
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},
\\
t_3
=
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}.
$$
Если $A_4$ подгруппа, то для матрицы
$$
s_1 
= 
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
$$
должны выполняться равенства (они выполнены для подстановок):
$$
s_1 \cdot t_1 = t_2 \cdot s_1,
$$
$$
s_1 \cdot t_1 = t_3 \cdot s_1.
$$
Из этих равенств мы получаем противоречие, т. к. получили, что $det(s_1) = 0$.
Остаются вопросы насчет правильности предыдущих рассуждений и еще нужна одна группа порядка 12, так как неизоморфных групп порядка 12 5 штук. Подскажите еще группу :oops:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group