2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Подгруппы в группе GL(2, Q).
Сообщение16.02.2015, 12:50 
Здравствуйте, участники форума. У меня возникла проблема с описанием всех конечных подгрупп порядка 12 в группе $GL_2(\mathbb{Q})$. Я попробовал начать. Рассматриваю возможные группы порядка 12 (с точностью до изоморфизма).
$1)$ Группа $C_12$ не может быть подгруппой, где $C_n$ - циклическая группа порядка $n$. Это я смог доказать.
$2)$ Рассмотрим группу $C_6 \times C_2$. Я хочу показать, что она тоже не может быть подгруппой. Имеем, что $C_6 \cong C_3 \times C_2$ $\Rightarrow$ достаточно доказать, что группа $C_3 \times C_2 \times C_2$ не является подгруппой. Заметим, что группа $C_2 \times C_2$ является группой Клейна $V_4$, т.е. нужно показать, что группа $C_3 \times V_4$ не является подгруппой группы $GL_2(\mathbb{Q})$. Группа $V_4$ можно представить матрицами :
$$
 \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},
\\
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix},
\\
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},
\\
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}.
$$
Пусть матрица $x$ : $C_3 = \langle x \rangle$, тогда $x$ имеет вид :
$$
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & -1-a
\end{pmatrix},
$$
причем $bc = -a^2 - a - 1 \neq 0$ . Пусть группа $C_3 \times V_4$ является подгруппой, тогда (если я не ошибаюсь :oops: )матрица $x$ должна коммутировать с матрицами из $V_4$. Тогда
$$
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & -1-a
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a & -b \\
c & 1+a
\end{pmatrix}.
$$
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & -1-a
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a & b \\
-c & 1+a
\end{pmatrix}.
$$
Из равенства произведений, мы получаем, что $b = c = 0$, т.е. противоречие с тем, что $bc \neq 0$. Вопрос в правильности моих действий :D
3)Далее, группа диэдра $D_6$ является подгруппой. Я нашел соответствующие матрицы.
4) Рассмотрим знакопеременную группу $A_4$. Я хочу показать, что она не может быть подгруппой группы $GL_2(\mathbb{Q})$. Обозначим элементы $A_4 = \lbrace e, t_1, t_2, t_3, s_1, s_2, s_3, s_4, s_5, s_6, s_7, s_8\rbrace$. Заметим, что элементы $e, t_1, t_2, t_3$ образуют группе Клейна $V_4$, то можно рассматривать их в качестве матриц :
$$
 e
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},
\\
t_1
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix},
\\
t_2
=
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},
\\
t_3
=
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}.
$$
Если $A_4$ подгруппа, то для матрицы
$$
s_1 
= 
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
$$
должны выполняться равенства (они выполнены для подстановок):
$$
s_1 \cdot t_1 = t_2 \cdot s_1,
$$
$$
s_1 \cdot t_1 = t_3 \cdot s_1.
$$
Из этих равенств мы получаем противоречие, т. к. получили, что $det(s_1) = 0$.
Остаются вопросы насчет правильности предыдущих рассуждений и еще нужна одна группа порядка 12, так как неизоморфных групп порядка 12 5 штук. Подскажите еще группу :oops:

 
 
 [ 1 сообщение ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group