Ковариантный и контравариантный первый орт

[serval]

Спасибо.
Значит, этот объект определяет два вектора принадлежащие плоскости с нормалью $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ ?

[svv]

Простите, тут не понял Вас. Этот объект — да, он как-то сконструирован, но его значением является просто число. И в Вашем случае оно равно нулю.

[serval]

Умножив матрицу слева на первый орт я получу вектор ортогональный ему (первому орту). Умножив эту же матрицу справа на первый орт я получу другой вектор ортогональный ему же (первому орту). Так?

[svv]

serval в сообщении #978793 писал(а):

Умножив матрицу слева на первый орт я получу вектор ортогональный ему (первому орту).

1) Если у нас ортонормированный базис, мы можем утверждать, что вектор $x=(1,0,0)$ ортогонален вектору $y=Ax=(0, a^2{}_1, a^3{}_1)$, потому что в таком базисе
$(x, y)=x^T y=x^1 y^1+x^2 y^2+x^3 y^3=0$.
А если неортонормированный, то нет:
$(x, y)=x^T G y = g_{12}a^2{}_1+g_{13}a^3{}_1$

2) OK, допустим, базис ортонормированный. Тогда да, в Вашем примере $(e_1, Ae_1)=0$. Но не подумайте, что так будет для любого вектора $x$. Уже для второго орта получим $(e_2, Ae_2)=a^2{}_2$, что необязательно равно нулю.

В ортонормированном базисе свойством
$(x, Ax)=0$ для любого $x$
обладают антисимметричные матрицы $A$.

[serval]

У меня не любой $\vec x$ а именно первый орт. А ортонормированность базиса Вы, как я понял, обосновали. Или не понял?

[svv]

Из ортонормированности базиса следовало бы, что векторы $x=(1,0,0)$ и $Ax=(0, a^2{}_1, a^3{}_1)$ ортогональны. Я так понимаю, Вам этого хотелось бы.

Наоборот — нет. Из их ортогональности не следует ортонормированность базиса, это гораздо более сильное свойство, и оно обычно следует из способа построения базиса, а не из того, что мы хотим, чтобы два наших вектора были ортогональны.

С другой стороны, и в неортонормированном базисе те два вектора будут ортогональны, если вдруг случайно $g_{12}a^2{}_1+g_{13}a^3{}_1=0$.

Не запутал? Упрощать не хотелось.

[serval]

Указанные Вами векторы ортогональны или нет? Есть ли способ, кроме скалярного произведения, это определить?
У меня есть только явный вид матрицы. Можно ли из него извлечь информацию о базисе?

[svv]

(Подправил в сообщениях индексы, с учетом другой интерпретации матрицы: $y^i=a^i{}_k x^k$).

serval в сообщении #978846 писал(а):

Указанные Вами векторы ортогональны или нет?

Неизвестно, зависит от $G$, а о ней ничего не известно.
Более конкретно — ортогональность зависит от того, равно или нет нулю выражение $g_{12}a^2{}_1+g_{13}a^3{}_1$

serval в сообщении #978846 писал(а):

У меня есть только явный вид матрицы. Можно ли из него извлечь информацию о базисе?

Нет. У Вас есть матрица $A$. Информация о базисе — это матрица Грама $G$.

P.S. Кстати, всех этих проблем нет в интерпретации с билинейной формой и двумя контравариантными векторами. Там $a_{ik}$ даёт $y_i=a_{ik}x^k$, а чтобы найти $x^i y_i$, зная $x^i$ и $y_i$, метрический тензор не нужен.

[serval]

Значит, я могу своим произволом задать удобную мне матрицу Грама? А в случае с билинейной формой я должен буду, так же волюнтаристски, задать два контравариантных вектора?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Меня вот так и подмывает спросить, в $3 + 4 = 7$ слагаемые — это размерности евклидовых пространств или псевдоевклидовых.

serval, разве не проще ли брать смысл конструкций из того, откуда они получены, а не пытаться приписать его отдельно?

[serval]

Еще мне известно $LU$-разложение матрицы $A$ .

arseniiv, они получены из комбинаторики. А какой там смысл у ко- и контравариантных компонентов мне не известно тем более

[provincialka]

serval в сообщении #979035 писал(а):

А какой там смысл у ко- и контравариантных компонентов мне не известно тем более

Дело даже не в этом. Дело в вашей конкретной задаче: чего считаете то? А ко- и контра- вариантность тут ни при чем, скорее всего у вас это просто удобная форма записи.

(о моделях)

Как-то раз знакомая из соседнего отдела принесла мне листок со значками и попросила помочь составить математическую модель. Там была таблица, строки помечены годами 19 века (не подряд и с повторениями), а в столбцах были разбросаны какие-то значки: треугольники, кружочки и т.п. Она и говорит: я уж пыталась через крайние справа значки линию провести, интерполировать ее многочленом.
Я, естественно, спросила, что это за информация. Оказалась, строки соответствуют стихотворениям Тютчева, а смысл значков она и сама не знает. И при чем же тут интерполяция?

[ewert]

serval в сообщении #979035 писал(а):

они получены из комбинаторики. А какой там смысл у ко- и контравариантных компоненто

Там -- никакого.

[serval]

Указанный мной объект получается, путем рутинных вычислений, как следствие существования пифагоровых троек. Или наоборот - пифагоровы тройки существуют потому что существует он. Получить его просто, теперь нужно интерпретировать. Понять - как из его свойств следует существование пифагоровых троек? И чем здесь может быть полезен тензорный аппарат?
Если интересно, я могу привести все промежуточные вычисления и представить его в явном виде.

[provincialka]

Тензорный аппарат -- вряд ли, хотя чем черт не шутит. Вот с "объектом" непонятно. Нам представлено произведение матрицы на два конкретных вектора, равное 0. Кроме того, что оно равно 0, ничего конкретного сказать нельзя.

Что-то надо расшифровать: все вычисления не надо, надо постановку задачи. Что есть что.