2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопросик по простейшему свойству предела
Сообщение15.02.2015, 12:46 
Аватара пользователя


07/01/15
764
Нюрба
Сегодня в школе мы доказывали арифметические свойства пределов функций. В один момент речь зашла о пределе отношения функций. Учитель доказал, что предел отношения равен отношению пределов, но с двумя оговорками: во-первых, функция, стоящая в знаменателе, должна иметь ненулевой предел; во-вторых, она нигде не должна принимать нулевые значения.

Меня смущает вторая оговорка. Есть же функции, которые где-то принимают значение 0, например $f(x) = x$, и которых можно поставить в знаменатель, например, $\frac{x^2}{x} = x$.

Мне кажется, достаточно существования только одной проколотой окрестности функции, стоящей в знаменателе, в которой она не принимает нулевого значения, чтобы предел отношения имел смысл.

Надеюсь, все запятые правильно поставил... Есть ли тут прокол?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросик по простейшему свойству предела
Сообщение15.02.2015, 12:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
Именно проколотой. При вычислении пределов значение функции в точке нас не интересует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросик по простейшему свойству предела
Сообщение15.02.2015, 12:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
SomePupil в сообщении #978649 писал(а):
Мне кажется, достаточно существования только одной проколотой окрестности функции, стоящей в знаменателе, в которой она не принимает нулевого значения, чтобы предел отношения имел смысл.

Вы правы. При первом знакомстве с темой препод может объехать этот момент на более халявной формулировке ("нигде"), потому что так короче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросик по простейшему свойству предела
Сообщение15.02.2015, 12:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6460
ИСН в сообщении #978655 писал(а):
При первом знакомстве с темой препод может объехать этот момент на более халявной формулировке ("нигде"), потому что так короче.

А еще могло быть так, что теорема формулировалась для функций, заданных на проколотой окрестности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросик по простейшему свойству предела
Сообщение15.02.2015, 12:57 
Аватара пользователя


07/01/15
764
Нюрба
Спасибо, развеяли сомнения!

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросик по простейшему свойству предела
Сообщение15.02.2015, 13:03 
Заслуженный участник


11/05/08
31333
SomePupil в сообщении #978649 писал(а):
Мне кажется, достаточно существования только одной проколотой окрестности функции, стоящей в знаменателе,

Безусловно, но это лишь небрежность формулировки. Гораздо хуже другое: эта оговорка вообще была не нужна -- ни в этой, ни в аккуратной формулировке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросик по простейшему свойству предела
Сообщение15.02.2015, 13:46 
Заморожен


20/12/10
5623
ewert в сообщении #978667 писал(а):
Гораздо хуже другое: эта оговорка вообще была не нужна -- ни в этой, ни в аккуратной формулировке.
Возможно, у учителя случилась аберрация с правилом Лопиталя. В любом случае можно посоветовать ТС уточнять формулировки теорем, просто заглядывая в учебник.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросик по простейшему свойству предела
Сообщение15.02.2015, 13:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6460
nnosipov в сообщении #978698 писал(а):
просто заглядывая в учебник.

Тогда уж в учебники. ))
Конечно, это лишнее условие, но не поленилась, полезла в Зорича - там это условие наличествует, причем именно в hard-варианте, приведенном ТС, с глобальной ненулёвостью знаменателя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросик по простейшему свойству предела
Сообщение15.02.2015, 14:04 
Заморожен


20/12/10
5623
Otta в сообщении #978702 писал(а):
Тогда уж в учебники. ))
Вот уж действительно :-) Я в двух школьных учебниках посмотрел (Колмогорова и Пратусевича), там только требование, чтобы предел знаменателя был отличен от нуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросик по простейшему свойству предела
Сообщение15.02.2015, 14:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6460
А я вот думаю, зачем? наверное, просто затем, чтобы область определения была областью определения, и только.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросик по простейшему свойству предела
Сообщение15.02.2015, 14:24 
Аватара пользователя


07/01/15
764
Нюрба
Да, а Вы дело говорите!

Если бы во всех проколотых окрестностях у знаменателя был нуль, то предел у него был бы равен нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросик по простейшему свойству предела
Сообщение15.02.2015, 14:33 
Заслуженный участник


11/05/08
31333
Скорее всего, Зорич стал жертвой своего стремления к избыточной формализации. Вот захотелось ему не произносить дополнительных слов -- и выплеснул вместе с водой ребёнка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросик по простейшему свойству предела
Сообщение15.02.2015, 14:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6460
ewert в сообщении #978715 писал(а):
жертвой своего стремления к избыточной формализации.

Угу, есть у него такое.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group