Вопросик по простейшему свойству предела

[SomePupil]

Сегодня в школе мы доказывали арифметические свойства пределов функций. В один момент речь зашла о пределе отношения функций. Учитель доказал, что предел отношения равен отношению пределов, но с двумя оговорками: во-первых, функция, стоящая в знаменателе, должна иметь ненулевой предел; во-вторых, она нигде не должна принимать нулевые значения.

Меня смущает вторая оговорка. Есть же функции, которые где-то принимают значение 0, например $f(x) = x$, и которых можно поставить в знаменатель, например, $\frac{x^2}{x} = x$.

Мне кажется, достаточно существования только одной проколотой окрестности функции, стоящей в знаменателе, в которой она не принимает нулевого значения, чтобы предел отношения имел смысл.

Надеюсь, все запятые правильно поставил... Есть ли тут прокол?

[provincialka]

Именно проколотой. При вычислении пределов значение функции в точке нас не интересует.

[ИСН]

SomePupil в сообщении #978649 писал(а):

Мне кажется, достаточно существования только одной проколотой окрестности функции, стоящей в знаменателе, в которой она не принимает нулевого значения, чтобы предел отношения имел смысл.

Вы правы. При первом знакомстве с темой препод может объехать этот момент на более халявной формулировке ("нигде"), потому что так короче.

[Otta]

ИСН в сообщении #978655 писал(а):

При первом знакомстве с темой препод может объехать этот момент на более халявной формулировке ("нигде"), потому что так короче.

А еще могло быть так, что теорема формулировалась для функций, заданных на проколотой окрестности.

[SomePupil]

Спасибо, развеяли сомнения!

[ewert]

SomePupil в сообщении #978649 писал(а):

Мне кажется, достаточно существования только одной проколотой окрестности функции, стоящей в знаменателе,

Безусловно, но это лишь небрежность формулировки. Гораздо хуже другое: эта оговорка вообще была не нужна -- ни в этой, ни в аккуратной формулировке.

[nnosipov]

ewert в сообщении #978667 писал(а):

Гораздо хуже другое: эта оговорка вообще была не нужна -- ни в этой, ни в аккуратной формулировке.

Возможно, у учителя случилась аберрация с правилом Лопиталя. В любом случае можно посоветовать ТС уточнять формулировки теорем, просто заглядывая в учебник.

[Otta]

nnosipov в сообщении #978698 писал(а):

просто заглядывая в учебник.

Тогда уж в учебники. ))
Конечно, это лишнее условие, но не поленилась, полезла в Зорича - там это условие наличествует, причем именно в hard-варианте, приведенном ТС, с глобальной ненулёвостью знаменателя.

[nnosipov]

Otta в сообщении #978702 писал(а):

Тогда уж в учебники. ))

Вот уж действительно Я в двух школьных учебниках посмотрел (Колмогорова и Пратусевича), там только требование, чтобы предел знаменателя был отличен от нуля.

[Otta]

А я вот думаю, зачем? наверное, просто затем, чтобы область определения была областью определения, и только.

[SomePupil]

Да, а Вы дело говорите!

Если бы во всех проколотых окрестностях у знаменателя был нуль, то предел у него был бы равен нулю.

[ewert]

Скорее всего, Зорич стал жертвой своего стремления к избыточной формализации. Вот захотелось ему не произносить дополнительных слов -- и выплеснул вместе с водой ребёнка.

[Otta]

ewert в сообщении #978715 писал(а):

жертвой своего стремления к избыточной формализации.

Угу, есть у него такое.