Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

[Rostislav1]

Найти условный экстремум методом множителей Лагранжа.
$ \[\begin{array}{l} {({x_1} + 4)^2} + {({x_2} - 4)^2} \to extr;\\ 2{x_1} - {x_2} - 2 \le 0, - {x_1} \le 0, - {x_2} \le 0; \end{array}\] $
Я составляю функцию Лагранжа
$\[L({x_1},{x_2},{\lambda _0},{\lambda _1},{\lambda _2},{\lambda _3}) = {\lambda _0}({({x_1} + 4)^2} + {({x_2} - 4)^2}) + {\lambda _1}(2{x_1} - {x_2} - 2) - {\lambda _2}{x_1} - {\lambda _3}{x_3};\]$

Далее выписываю необходимые условия минимума (Максимум,как я понял, достигается на бесконечности $\[{x_1} = 0,{x_2} = n,n \to + \inf \]$ )

$\[\begin{array}{l} \frac{{\partial L}}{{d{x_1}}} = {\lambda _0}(2{x_1} + 8) + 2{\lambda _1} - {\lambda _2}\\ \frac{{\partial L}}{{d{x_2}}} = {\lambda _0}(2{x_1} - 8) - {\lambda _1} - {\lambda _3} \end{array}\]$


$\[\left\{ \begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} {\lambda _0}(2{x_1} + 8) + 2{\lambda _1} - {\lambda _2} = 0\\ {\lambda _0}(2{x_1} - 8) - {\lambda _1} - {\lambda _3} = 0 \end{array} \right\}1\\ \left. \begin{array}{l} {\lambda _1}(2{x_1} - {x_2} - 2) = 0\\ - {\lambda _2}{x_1} = 0\\ - {\lambda _3}{x_3} = 0 \end{array} \right\}2\\ \left. \begin{array}{l} {\lambda _1} \ge 0\\ {\lambda _2} \ge 0\\ {\lambda _3} \ge 0 \end{array} \right\}3\\ \left. \begin{array}{l} 2{x_1} - {x_2} - 2 \le 0\\ - {x_1} \le 0\\ - {x_2} \le 0 \end{array} \right\}4 \end{array} \right.\]$

1-стационарности, 2-дополняющий нежесткости, 3-неотрицательности, 4-допустимости.

Вот такая неприятная система получилась. Собственно, вопрос - что делать дальше? когда было меньшее количество лямд(2) - одну фиксировали, рассматривали разные случаи, в некоторых получали противоречие, а в некоторых находили точки. Но с увеличением лямд до 4-х, задача становится гораздо сложнее. Может быть условия изначально можно было как-то упростить, чтобы получить полином с меньшим количеством лямд...

[provincialka]

Вы этим методом где ищете экстремум: внутри области или на границе? Внутри лагранж не нужен. А на границе (на каждой ее части) используется только одно ограничение.

[Rostislav1]

Цитата:

Внутри лагранж не нужен.

Т.е. для нахождения экстремума внутри все мои действия неверны?

Цитата:

А на границе (на каждой ее части) используется только одно ограничение.

Получается, нужно для каждого ограничения составить ф-цию Лагранжа, записать все необходимые условия и решить систему?

[provincialka]

Да
Да

[ewert]

Rostislav1 в сообщении #978669 писал(а):

Получается, нужно для каждого ограничения составить ф-цию Лагранжа

Только не для "ограничения", а для границы. Кроме того, не забудьте, что надо ещё и проверить вершины.

Вообще же задачка сформулирована вполне дико: экстремум в области -- ни разу не условный и даже не "экстремум".

[provincialka]

К тому же ограничения линейные. Зачем тут Лагранж?

[Rostislav1]

provincialka в сообщении #978685 писал(а):

К тому же ограничения линейные. Зачем тут Лагранж?

На парах для задачи со смешанными ограничениями пока был пройден только этот метод, поэтому им и решаю..

[provincialka]

А просто выразить и подставить нельзя?

Rostislav1 в сообщении #978626 писал(а):

Максимум,как я понял, достигается на бесконечности $\[{x_1} = 0,{x_2} = n,n \to + \inf \]$ )

А она входит в область?

[Rostislav1]

Цитата:

А она входит в область?

если подставить в условия, то получим
$\[ - inf - 2 \le 0,0 \le 0, - inf \le 0\]$
Так что получается, что входит

Цитата:

А просто выразить и подставить нельзя?

не совсем понял, что из чего выразить и куда подставить?

[provincialka]

Ограничения запишите. Для каждой грани они будут в виде равенства. Например, $2x+y=1$. Можно отсюда выразить $y$?

[ewert]

provincialka в сообщении #978685 писал(а):

К тому же ограничения линейные. Зачем тут Лагранж?

Ну в тренировочных целях вполне могли потребовать именно Лагранжа. Просто сформулировано безграмотно.

[provincialka]

Я поэтому и спрашивала: лагранжа требует препод, или просто ТС ничего другого не придумал?
А так, конечно... ограничение $-x_1\leqslant 0$ умиляет.

[Rostislav1]

provincialka в сообщении #978693 писал(а):

Ограничения запишите. Для каждой грани они будут в виде равенства. Например, $2x+y=1$. Можно отсюда выразить $y$?

из первого ограничения я выразил $\[{x_2}\]$ и исходная функция теперь имеет вид $\[{f_0} = {({x_1} + 4)^2} + {(2{x_1} - 6)^2}\]$
Или Вы не это имели ввиду?

[ewert]

provincialka в сообщении #978701 писал(а):

ограничение $-x_1\leqslant 0$ умиляет.

Почему? В формулировке теоремы все неравенства в любом случае направлены в одну и ту же сторону. И если подгонять под формулировку, то ровно так и нужно.

[provincialka]

Rostislav1 в сообщении #978707 писал(а):

Или Вы не это имели ввиду?

Это. Но не надо переспрашивать каждый шаг. Решайте самостоятельно.