Доказать неравенство методом математической индукции

[h8w8]

$2!\cdot 4!\cdot ... \cdot (2n)!> ((n+1)!)^{n}$
База: $n=2$ - верно
Предположение: $n=k$
Переход:
$2!\cdot 4!\cdot ...\cdot (2k)!\cdot (2k+2)!> ((k+1)!)^{k}\cdot (2k+2)! = 1^{k}\cdot 2^{k}\cdot ...\cdot k^{k}\cdot(k+1)^{k}\cdot 1\cdot 2\cdot ...\cdot k\cdot (k+1)\cdot (k+2)\cdot ...\cdot (2k+2)= 1^{k+1}\cdot 2^{k+1}\cdot ...\cdot k^{k+1}\cdot (k+1)^{k+1}\cdot (k+2)\cdot ...\cdot (2k+2)$
Дальше не могу разобраться, по сути мне нужно получить $(k+2)^{k+1}$ вместо $(k+2)\cdot ...\cdot (2k+2)$, но как сделать это, что-то не могу догадаться.

[provincialka]

h8w8 в сообщении #978374 писал(а):

по сути мне нужно получить $(k+2)^{k+1}$ вместо $(k+2)\cdot ...\cdot (2k+2)$,

А сколь сомножителей в каждом произведении и в каком они больше?

[h8w8]

Так, $k+1$ сомножителей в каждом произведении, но как представить $(k+3)\cdot (k+4)\cdot ...\cdot (2k+2)$ через $k+2$, допустим представить в виде $(k+2+1)\cdot (k+2+2)\cdot ...\cdot (k+2+k)$, а как действовать дальше?

[provincialka]

А что значит "представить"? Что вы хотите доказать про эти два произведения? Сформулируйте явно.

[h8w8]

Представить значит выразить. Я хочу доказать, что они либо равны, либо одно можно выразить через другое

[provincialka]

Они не равны, это очевидно. А слово "выразить" такое же туманное, как "представить". И нужно вам совсем не это! Не забудьте, что вы доказываете неравенство.

[h8w8]

Всё, кажется я понял, раз $ 1^{k+1}\cdot 2^{k+1}\cdot ...\cdot k^{k+1}\cdot (k+1)^{k+1}\cdot (k+2)\cdot ...\cdot (2k+2)> ((k+2)!)^{k+1}$, тогда $2!\cdot 4!\cdot ...\cdot (2k)!\cdot (2k+2)!> ((k+2)!)^{k+1}$

[provincialka]

Именно!

[h8w8]

Спасибо!