2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Перевод из декартовой в полярную систему
Сообщение14.02.2015, 19:21 


28/10/14
64
Нужно посчитать двойной интеграл некой функции, условия:

$\[\begin{array}{l}
1 \le {x^2} + \frac{{{y^2}}}{{16}} \le 9\\
y \ge 0\\
y \le 4x
\end{array}\]$

Для удобства перевожу в полярную систему координат. В решении получаются пределы интегрирования:

$\[\begin{array}{l}
{x^2} + \frac{{{y^2}}}{{16}} \le 1 \Leftrightarrow {r^2}{\cos ^2}\varphi  + \frac{{{r^2}{{\sin }^2}\varphi }}{{16}} \le 1 \Rightarrow r \le 1\\
{x^2} + \frac{{{y^2}}}{{16}} \ge 9 \Leftrightarrow {r^2}{\cos ^2}\varphi  + \frac{{{r^2}{{\sin }^2}\varphi }}{{16}} \ge 9 \Rightarrow r \ge 3
\end{array}\]$

А вот с углом проблема. У меня получается угол $\[y = 4x \Leftrightarrow r\sin \varphi  = 4r\cos \varphi  \Rightarrow \varphi  = \arctg\frac{1}{4}\]$, а в решении так: $\[y = 4x \Leftrightarrow 4r\sin \varphi  = 4r\cos \varphi  \Rightarrow \varphi  = \arctg1\]$.

Объясните пожалуйста почему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перевод из декартовой в полярную систему
Сообщение14.02.2015, 19:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1782
Москва
Потому что надо переходит не совсем в полярную, а так: $x=r\cos\varphi$, $y=4r\sin\varphi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перевод из декартовой в полярную систему
Сообщение14.02.2015, 19:52 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
13805
Кронштадт
Уравнение вроде $x^2 + \frac{y^2}{16} = 9$ - это уравнение эллипса. Соответственно, просто полярная система координат будет неудачной, перед переходом в нее стоит либо сжать все по оси $Y$, либо растянуть по оси $X$. Можно сделать это так, как предложил ex-math, а можно сначала сделать замену $y' = y/4$, а уже потом перейти от $(x,y')$ к полярным координатам (результат будет тем же, но так, наверное, понятнее, почему он именно такой).

И, кстати, у Вас явно есть проблемы со знаками неравенств. Либо в исходном условии ошибка, либо в полученных пределах интегрирования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перевод из декартовой в полярную систему
Сообщение14.02.2015, 20:05 


28/10/14
64
Pphantom[/b[b]Pphantom
Практически ясно - т.е. в полярных координатах нам требуется окружность, а у нас дан эллипс, тем самым в система $(x,y/4)$ эллипс будет представлен в виде окружности - я правильно понимаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Перевод из декартовой в полярную систему
Сообщение14.02.2015, 20:19 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
13805
Кронштадт
veez в сообщении #978395 писал(а):
Практически ясно - т.е. в полярных координатах нам требуется окружность, а у нас дан эллипс, тем самым в система $(x,y/4)$ эллипс будет представлен в виде окружности - я правильно понимаю?
Именно так.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group