Перевод из декартовой в полярную систему

[veez]

Нужно посчитать двойной интеграл некой функции, условия:

$\[\begin{array}{l} 1 \le {x^2} + \frac{{{y^2}}}{{16}} \le 9\\ y \ge 0\\ y \le 4x \end{array}\]$

Для удобства перевожу в полярную систему координат. В решении получаются пределы интегрирования:

$\[\begin{array}{l} {x^2} + \frac{{{y^2}}}{{16}} \le 1 \Leftrightarrow {r^2}{\cos ^2}\varphi + \frac{{{r^2}{{\sin }^2}\varphi }}{{16}} \le 1 \Rightarrow r \le 1\\ {x^2} + \frac{{{y^2}}}{{16}} \ge 9 \Leftrightarrow {r^2}{\cos ^2}\varphi + \frac{{{r^2}{{\sin }^2}\varphi }}{{16}} \ge 9 \Rightarrow r \ge 3 \end{array}\]$

А вот с углом проблема. У меня получается угол $\[y = 4x \Leftrightarrow r\sin \varphi = 4r\cos \varphi \Rightarrow \varphi = \arctg\frac{1}{4}\]$, а в решении так: $\[y = 4x \Leftrightarrow 4r\sin \varphi = 4r\cos \varphi \Rightarrow \varphi = \arctg1\]$.

Объясните пожалуйста почему.

[ex-math]

Потому что надо переходит не совсем в полярную, а так: $x=r\cos\varphi$, $y=4r\sin\varphi$.

[Pphantom]

Уравнение вроде $x^2 + \frac{y^2}{16} = 9$ - это уравнение эллипса. Соответственно, просто полярная система координат будет неудачной, перед переходом в нее стоит либо сжать все по оси $Y$, либо растянуть по оси $X$. Можно сделать это так, как предложил ex-math, а можно сначала сделать замену $y' = y/4$, а уже потом перейти от $(x,y')$ к полярным координатам (результат будет тем же, но так, наверное, понятнее, почему он именно такой).

И, кстати, у Вас явно есть проблемы со знаками неравенств. Либо в исходном условии ошибка, либо в полученных пределах интегрирования.

[veez]

Pphantom[/b[b]Pphantom
Практически ясно - т.е. в полярных координатах нам требуется окружность, а у нас дан эллипс, тем самым в система $(x,y/4)$ эллипс будет представлен в виде окружности - я правильно понимаю?

[Pphantom]

veez в сообщении #978395 писал(а):

Практически ясно - т.е. в полярных координатах нам требуется окружность, а у нас дан эллипс, тем самым в система $(x,y/4)$ эллипс будет представлен в виде окружности - я правильно понимаю?

Именно так.