Математическая Статистика

[TripleLucker]

Здравствуйте. У меня вопрос по интегралу. В общем, в задаче нужно вычислить ковариацию двух случайных величин - первого члена вариационного ряда и последнего. Если в выборке все случайные величины имеют равномерное распределение на отрезке $[0;\theta ]$. А именно :
$\[{\mathop{\rm cov}} ({X_{(1)}},{X_{(n)}}) = E({X_{(1)}}{X_{(n)}}) - E{X_{(1)}}E{X_{(n)}}\]$

Я знаю оба множителя во втором слагаемом из предыдущих задач. И я сверил с ответами, поэтому там ошибок нет. Это такие величины:

$\[E{X_{(1)}} = \frac{\theta }{{n - 1}},E{X_{(n)}} = \frac{{\theta n}}{{n - 1}}\]$

Поэтому остается посчитать первый интеграл. Мат.ожидание произведения двух случайных величин берем по определению:

$\[E({X_{(1)}}{X_{(n)}}) = \int\limits_R {ts{f_{{X_{(1)}},{X_{(n)}}}}(t,s)dtds} \]$

(Извините, но почему-то двойной интеграл не вставляется сюда. Я надеюсь, так можно оставить.)

В общем плотность я тоже знаю из предыдущей задачи, тоже с ответом сверено и верно.

${f_{{X_{(1)}},{X_{(n)}}}}(t,s) = \frac{{n(n - 1){{(s - t)}^{n - 2}}}}{{{\theta ^n}}}$ при $t < s$, и $0$ при обратном неравенстве. Также, т.к. у нас равномерное распределение на заданном выше отрезке, то везде все 0, кроме этого отрезка. Поэтому интегралы по всей оси превращаются в интегралы по этим отрезкам, как минимум. Но еще же надо учитывать как-то условие на саму плотность дополнительное. Но я не понимаю, как здесь это применить ( если нужно вообще).

Ну и интеграл я беру таким образом: Сначала рассматриваю интеграл по одной из переменной, считая другую параметром. То, что в скобке с большой степенью, я обозначаю новой переменной, и, таким образом в итоге у меня получается два хороших интеграла и два нехороших. Нехорошие в том смысле, что снова приходится такую же замену делать и они нудные по вычислению. Вопроса бы не возникло, но эти два нехороших интеграла не сокращаются друг с другом, хотя они очень похожими получились. И, собственно, сам вопрос отсюда и следует: Если предположить, что я ошибся где-то, и они все же сократились, то все остальное красиво переходит в правильный ответ. А если нет, то ответ неправильный и, следовательно, я интеграл не по той области беру. Как быть?

Я не привожу выкладки с вычислением последнего интеграла, т.к. есть вероятность, что они вообще ненужные и вычислять по другой области надо.

[Henrylee]

TripleLucker в сообщении #978298 писал(а):

Я знаю оба множителя во втором слагаемом из предыдущих задач. И я сверил с ответами, поэтому там ошибок нет. Это такие величины:

$\[E{X_{(1)}} = \frac{\theta }{{n - 1}},E{X_{(n)}} = \frac{{\theta n}}{{n - 1}}\]$

Это уже неверно. Ну сами подумайте, $X_{(n)}\leqslant\theta$ почти наверное, а у Вас выходит $EX_{(n)}>\theta$.

Дальше читать почти не стал. Исправляйтесь.

PS Двойной интеграл пишется так $\iint\limits_{\mathbb{R}^2}$. Наведите на формулу и посмотрите.

[TripleLucker]

Цитата:

Дальше читать почти не стал. Исправляйтесь.

Ой, я вбил неправильно, не заметил, прошу прощения. Там плюсы вместо минусов в обоих случаях. Но вопрос все равно остается тот же, он связан больше с логическим рассуждением, а не с проблемами в вычислениях. Эти два члена не участвуют в интеграле, в котором проблема. Хотя теперь даже ответ не совпадает.

PS Я просто MathType использую для формул и оттуда копирую сюда, а вот двойной интеграл не захотел копироваться. Сейчас исправлю.
PPS Хм, уже поздно. Но буду знать.

[Henrylee]

TripleLucker в сообщении #978298 писал(а):

Но еще же надо учитывать как-то условие на саму плотность дополнительное. Но я не понимаю, как здесь это применить ( если нужно вообще).

Область интегрирования становится треугольной.

[TripleLucker]

Господи, написал сам про это, а не понял, как использовать. Ну и глупый же вопрос. Все получилось, спасибо за ответ! Зря только голову ломал.