2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Трансформационные свойства операторов J и P
Сообщение14.02.2015, 10:13 


09/02/15
14
Чтобы доказать $U(\Lambda) | \mathbf{p} \rangle = | \Lambda \mathbf{p} \rangle$, приведенное в разделе 2 книги Пескина и Шредера без доказательства, читаю главу 2 первого (англ.) тома Вайнберга, где это уравнение под номером 2.5.3. Но пока я две страницы перед этим не вижу как он получил правую часть 2.4.8 из 2.4.7:
$U(\Lambda,a) \left[ \frac{1}{2} \omega_{\rho \sigma} J^{\rho \signa} - \epsilon_{\rho} P^{\rho} \right] U^{-1}(\Lambda, a) = \frac{1}{2} (\Lambda\omega\Lambda^{-1})_{\mu\nu} J^{\mu \nu} - (\Lambda \epsilon-\Lambda\omega\Lambda^{-1}a)_{\mu}P^{\mu} \hspace{1cm}\eqn{(2.4.7)}$
$U(\Lambda,a)J^{\rho \sigma}U^{-1}(\Lambda,a) = \Lambda_{\mu}^{~\rho} \Lambda_{\nu}^{~\sigma} (J^{\mu \nu} - a^{\mu}P^{\nu} + a^{\nu} P^{\mu}) \hspace{1cm} \eqn{(2.4.8)}$
$U(\Lambda,a)P^{\rho}U^{-1}(\Lambda,a) = \Lambda_{\mu}^{~\rho} P^{\mu} \hspace{1cm} \eqn{(2.4.9)}$
Чтобы получить $\eqn(2.4.8-9)$ Вайнберг предлагает приравнять коэффициенты при $\omega_{\rho \sigma}$ и $\epsilon_{\rho}$ в $\eqn(2.4.7)$ и воспользоваться
$(\Lambda^{-1})^{\rho}_{~\nu} = \Lambda_{\nu}^{~\rho} \equiv \eta_{\nu \mu} \eta^{\rho \sigma} \Lambda^{\mu}_{~\sigma} \hspace{1cm} \eqn{(2.3.10)}$.
Расписывая $(\Lambda \varepsilon)_{\mu}P_{\mu} = \Lambda_{\mu}^{~\rho}\epsilon_{\rho} P^{\mu} = \epsilon_{\rho} \Lambda_{\mu}^{~\rho}P^{\mu}$, легко получаю $\eqn(2.4.9)$. Пытаюсь сделать то же самое, чтобы получить $\eqn(2.4.8)$. Для этого расписываю
$(\Lambda\omega\Lambda^{-1})_{\mu\nu} = \Lambda_{\mu}^{~\rho} \omega_{\rho \sigma} \Lambda^{-1}^{\sigma}_{~\nu} = \Lambda_{\mu}^{~\rho} \omega_{\rho \sigma} \Lambda_{\nu}^{~\sigma}$
и
$(\Lambda\omega\Lambda^{-1} a)_{\mu} = \Lambda_{\mu}^{~\rho} \omega_{\rho \sigma} \Lambda^{-1}^{\sigma}_{~\nu} a^{\nu} = \Lambda_{\mu}^{~\rho} \omega_{\rho \sigma}  \Lambda_{\nu}^{~\sigma} a^{\nu}$
получаю первый и третий члены в правой части $\eqn(2.4.8)$, но не второй (отрицательный).

Что я делаю не так?

UPDATE: до меня дошло что нужно воспользоваться антисииметричностью $\omega$. Возможно сейчас все разрешиться...

-- 14.02.2015, 02:30 --

Так и есть, нужно воспользоваться анисимметричностью $\omega$. Спасибо всем, кто дочитал. :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group