Трансформационные свойства операторов J и P

[IvanMazepa]

Чтобы доказать $U(\Lambda) | \mathbf{p} \rangle = | \Lambda \mathbf{p} \rangle$, приведенное в разделе 2 книги Пескина и Шредера без доказательства, читаю главу 2 первого (англ.) тома Вайнберга, где это уравнение под номером 2.5.3. Но пока я две страницы перед этим не вижу как он получил правую часть 2.4.8 из 2.4.7:
$U(\Lambda,a) \left[ \frac{1}{2} \omega_{\rho \sigma} J^{\rho \signa} - \epsilon_{\rho} P^{\rho} \right] U^{-1}(\Lambda, a) = \frac{1}{2} (\Lambda\omega\Lambda^{-1})_{\mu\nu} J^{\mu \nu} - (\Lambda \epsilon-\Lambda\omega\Lambda^{-1}a)_{\mu}P^{\mu} \hspace{1cm}\eqn{(2.4.7)}$
$U(\Lambda,a)J^{\rho \sigma}U^{-1}(\Lambda,a) = \Lambda_{\mu}^{~\rho} \Lambda_{\nu}^{~\sigma} (J^{\mu \nu} - a^{\mu}P^{\nu} + a^{\nu} P^{\mu}) \hspace{1cm} \eqn{(2.4.8)}$
$U(\Lambda,a)P^{\rho}U^{-1}(\Lambda,a) = \Lambda_{\mu}^{~\rho} P^{\mu} \hspace{1cm} \eqn{(2.4.9)}$
Чтобы получить $\eqn(2.4.8-9)$ Вайнберг предлагает приравнять коэффициенты при $\omega_{\rho \sigma}$ и $\epsilon_{\rho}$ в $\eqn(2.4.7)$ и воспользоваться
$(\Lambda^{-1})^{\rho}_{~\nu} = \Lambda_{\nu}^{~\rho} \equiv \eta_{\nu \mu} \eta^{\rho \sigma} \Lambda^{\mu}_{~\sigma} \hspace{1cm} \eqn{(2.3.10)}$.
Расписывая $(\Lambda \varepsilon)_{\mu}P_{\mu} = \Lambda_{\mu}^{~\rho}\epsilon_{\rho} P^{\mu} = \epsilon_{\rho} \Lambda_{\mu}^{~\rho}P^{\mu}$, легко получаю $\eqn(2.4.9)$. Пытаюсь сделать то же самое, чтобы получить $\eqn(2.4.8)$. Для этого расписываю
$(\Lambda\omega\Lambda^{-1})_{\mu\nu} = \Lambda_{\mu}^{~\rho} \omega_{\rho \sigma} \Lambda^{-1}^{\sigma}_{~\nu} = \Lambda_{\mu}^{~\rho} \omega_{\rho \sigma} \Lambda_{\nu}^{~\sigma}$
и
$(\Lambda\omega\Lambda^{-1} a)_{\mu} = \Lambda_{\mu}^{~\rho} \omega_{\rho \sigma} \Lambda^{-1}^{\sigma}_{~\nu} a^{\nu} = \Lambda_{\mu}^{~\rho} \omega_{\rho \sigma} \Lambda_{\nu}^{~\sigma} a^{\nu}$
получаю первый и третий члены в правой части $\eqn(2.4.8)$, но не второй (отрицательный).

Что я делаю не так?

UPDATE: до меня дошло что нужно воспользоваться антисииметричностью $\omega$. Возможно сейчас все разрешиться...

-- 14.02.2015, 02:30 --

Так и есть, нужно воспользоваться анисимметричностью $\omega$. Спасибо всем, кто дочитал.