2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Странный оператор
Сообщение13.02.2015, 23:02 
Аватара пользователя


03/03/10
1341
Решая задачу получил оператор $\hat O = \sqrt{a^2 + \partial_x^2}$. Не пойму, что будет если подействовать им на функцию. Единственная идея -- $\hat O y(x) =\sqrt{a^2 + \partial_x^2} y(x) = \sqrt{a^2 y^2(x) + \partial_x^2 y^2(x)}$. Это верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Странный оператор
Сообщение13.02.2015, 23:12 
Заслуженный участник


25/02/11
1588
Kitozavr в сообщении #977960 писал(а):
Это верно?

Нет. Применив дважды, $a^2y+y''$ не получится.

Формально такой оператор можно определить как псевдодифференциальный, с помощью преобразования Фурье:
$\hat Oy=F^{-1}(a^2-\xi^2)^{1/2}Fy$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странный оператор
Сообщение13.02.2015, 23:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
8080
Hogtown
Да, поскольку $a^2+\partial_x^2$ не является неотрицательным оператором, то следует объяснить, какой корень принимается при отрицательном значении аргумента. Но учитывая, что это из физики, то я подозреваю, что оператор $a^2+p_x^2=a^2-\partial_x^2$, и он положительный

 Профиль  
                  
 
 Re: Странный оператор
Сообщение14.02.2015, 00:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65274
Что-то мне это уравнение Дирака напоминает...

 Профиль  
                  
 
 Re: Странный оператор
Сообщение14.02.2015, 00:48 
Аватара пользователя


03/03/10
1341
Red_Herring в сообщении #977979 писал(а):
Но учитывая, что это из физики, то я подозреваю, что оператор $a^2+p_x^2=a^2-\partial_x^2$, и он положительный
Так и есть. А это как-то поможет ?

Оператор появился в результате диагонализации гамильтониана вида
$$
H \sim \begin{pmatrix}
		A + \partial^2_x -2 \partial_x - 1 &B \\
 		B & A + \partial^2_x + 2 \partial_x - 1
	\end{pmatrix}.
$$
Если я всё правильно сделал, то подобные корни появляются в его собственных значениях

 Профиль  
                  
 
 Re: Странный оператор
Сообщение14.02.2015, 01:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65274
Если вы диагонализируете гамильтониан, то пишите не $\partial_x,$ а $i\hat{p}_x,$ и будет вам счастье: потом возьмёте оператор импульса в окончательном представлении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странный оператор
Сообщение14.02.2015, 02:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
8080
Hogtown
Kitozavr в сообщении #978031 писал(а):
А это как-то поможет

Ну по крайней мере оператор корректно определен. Но, в своем $H$ я подозреваю Вы врете т.к. из-за "голых" $\partial$ он несамосопряженный. Слушайте совет Munin и понимайте $p_x$ как вещественное число (это, конечно, не совсем так, но поможет понять что-то. Ну и если нет потенциалов, зависящих от $x$ смело переходите в импульсное предствление, и будет Вам если не счастье, то хотя бы облегчение

 Профиль  
                  
 
 Re: Странный оператор
Сообщение14.02.2015, 02:13 
Аватара пользователя


03/03/10
1341
Red_Herring в сообщении #978088 писал(а):
Но, в своем $H$ я подозреваю Вы врете т.к. из-за "голых" $\partial$ он несамосопряженный.
А как это "неголые" $\partial$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Странный оператор
Сообщение14.02.2015, 02:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
8080
Hogtown
Kitozavr в сообщении #978090 писал(а):
А как это "неголые" $\partial$?

Ну Вам же объяснили—с мнимой единицей. Заметьте, что в $\mathbb{R}$ $i\partial$—самосопряженный, a $\partial$—анти-самосопряженный. Поэтому замените его ($\partial$) на $i\hat{p}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Странный оператор
Сообщение14.02.2015, 03:10 
Аватара пользователя


03/03/10
1341
Вы правы, $i$ я забыл.
Тогда надо диагонализировать гамильтониан.
$$
H \sim \begin{pmatrix}
		A + (ip)^2_x -2ip_x - 1 &B \\
		B & A + (ip)^2_x + 2 ip_x - 1
	\end{pmatrix}.
$$
В результате получается
$$
\tilde H \sim \begin{pmatrix}
		A - p^2_x - \sqrt{B^2 - 4p_x^2} - 1 & 0\\
		0 & A - p^2_x + \sqrt{B^2 - 4p_x^2} - 1
	\end{pmatrix}.
$$
Если теперь записать уравнение Шредингера, то в нём будут члены $\sqrt{B^2 - 4p_x^2} \psi$. Кажется, дальше понимать $p_x$ как вещественное число нельзя. Придётся поступит как советовал Vince Diesel?

 Профиль  
                  
 
 Re: Странный оператор
Сообщение14.02.2015, 04:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
8080
Hogtown
Kitozavr в сообщении #978100 писал(а):
Вы правы, $i$ я забыл.

Не понял… $p_x=-i\partial_x$, и он то д.б. без $i$.
Kitozavr в сообщении #978100 писал(а):
Кажется, дальше понимать $p_x$ как вещественное число нельзя. Придётся поступит как советовал Vince Diesel

Проще перейти импульсному представлению и в нем $p_x$ превращается в оператор умножения на вещественное число. Разумеется, в координатном представлении мы имеем псевдодифференциальный оператор, а более точно—мультипликатор, т.е. оператор инвариантный от-но сдвига. Пока у Вас нет потенциалов, зависящих от координат, разговор о псевдодифференциальных операторах будет ненужным усложнением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странный оператор
Сообщение14.02.2015, 10:03 
Аватара пользователя


03/03/10
1341
Red_Herring в сообщении #978116 писал(а):
Не понял… $p_x=-i\partial_x$, и он то д.б. без $i$.
Верно, это я ночью плохо соображал и ошибся.

Red_Herring в сообщении #978116 писал(а):
Пока у Вас нет потенциалов, зависящих от координат
На самом деле есть, $B \sim \cos \frac{x}{2}$. Но, может быть, всё равно стоит перейти в импульсное представление?

 Профиль  
                  
 
 Re: Странный оператор
Сообщение14.02.2015, 10:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65274
О, ну при таком потенциале сам Блох велел...

 Профиль  
                  
 
 Re: Странный оператор
Сообщение14.02.2015, 11:13 
Аватара пользователя


03/03/10
1341
Munin в сообщении #978161 писал(а):
сам Блох велел
:lol:
Если использовать теорему Блоха, то $\sqrt{\cos^2 \frac{x}{2} - \hat p_x^2} \psi (x) = \sqrt{\cos^2 \frac{x}{2} - \hat p_x^2} e^{ipx} \varphi (x) $. Всё равно не понятно, что делать дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странный оператор
Сообщение14.02.2015, 11:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
8080
Hogtown
Munin
говорит загадками.

Kitozavr, я надеюсь Вы все сказали и какй каки про $A$ не скажете.
Найти спектр Вы не сможете. Но понять его характер—запросто. Если оператор в $L^2(\mathbb{R},\mathbb{C}^2)$ то его спектр непрерывный полосчатый (band spectrum) и получается так: мы рассмотрим этот же оператор на $L^2(I,\mathbb{C}^2)$, где $I=(0,L)$, $L=4\pi$ период, и граничные условия квазипериодические $u(L)=u(0)e^{ikL}$, $u'(L)=u'(0)e^{ikL}$, обозначим его с.значения через $\lambda_n(k)$, где $k\in (0,2\pi/L)$—квазиимпульс и при $k$ пробегающем указанный интервал эти самые $\lambda_n(k)$ заметают полосы спектра.

Да, есть ещё одна симметрия: при сдвиге на $2\pi$ оператор $H$ переходит в $Q^*HQ$ где $Q=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ и потому можно взять $L=2 \pi$ но граничные условия $u(L)=Qu(0)e^{ikL}$, $u'(L)=Qu'(0)e^{ikL}$.

Но, чёрт возьми, разберитесь, кто такой $H$, а то он у Вас несамосопряженным выходит, от того и корни мнимые случаются.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group