Особенность в нуле четырехлепестковой розы

[OlgaD]

Помогите, пожалуйста, определить тип особой точки в начале координат для кривой $(x^2+y^2)^3-4x^2y^2=0.$ Кратность особой точки - 4. Но это не обыкновенная особая точка, так как касательных две: $x=0$ и $y=0$ (каждая кратности 2), а не четыре различных. Это также не гиперкасп, так как нет одной общей касательной. Тогда как это называется? Тоже, наверное каспидальная особенность?

[ИСН]

Вы знаете каких-то сложных слов, которых я не знаю. По-простому я бы это назвал многократным самокасанием и самопересечением одновременно.

[OlgaD]

это для меня немного запутано...а точнее? Вопрос в следующем: есть плоская кривая 6-ой степени $\{(x^2+y^2)^3-4x^2y^2z^2=0\}\subset\mathbb{CP}^2.$ В аффинной карте $U_3:z=1$ - эта кривая есть четырехлепестковая роза. Меня интересует какой тип у особой точки $(0,0).$ При этом рассматриваю касательные прямые в этой точки, алгебраическое определение.

[ИСН]

Тут пусть кто-нибудь более сведущий скажет.

[svv]

OlgaD
Это не есть ответ на Ваш вопрос. Я просто хотел заметить.
То, что Вы говорите «касп», говорит о том, что Вы воспринимаете Вашу кривую так:

Видны четыре острых клюва, которые я для наглядности не стал сводить в одну точку.

А ИСН — так:

Для наглядности я избежал касаний.
Т.е. разница в параметризации.

Так вот, в его варианте есть что-то кроме самопересечения?

[OlgaD]

не напрягайте мне мозги... я и так запуталась... Просто я знаю, что плоская алгебраическая кривая $C\subset\mathbb{CP}^2$ имеет простую (обыкновенную) особенность в некоторой точке $p\in C$ кратности 4 (в нашем случае), если она имеет в этой точке 4 разные касательные. И точка $p\in C$ кратности 4 называется гиперкаспом, если в этой точке к $C$ существует единственная касательная кратности 4. Ни тот, ни другой случай здесь, явно, не подходит. У меня две касательные (каждая кратности 2) и я не знаю как это называется в классификации плоских проективных кривых.