2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Связь между углами в полярном (к трёхгранному углу) угле
Сообщение11.02.2015, 14:50 


15/11/14
111
Из учебника по стереометрии, цитирую:
Цитата:
Изображение
Пусть $SABC$ - трёхгранный угол, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ - величины его плоских углов, $A$, $B$, $C$ - величины двугранных углов. Возьмём внутри угла произвольную точку $S_1$ и опустим из неё перпендикуляры $S_1A_1$, $S_1B_1$, $S_1C_1$ на грани $BSC$, $ASC$, $ASB$ соответственно. Получим новый трёхгранный угол $S_1A_1B_1C_1$ (рис 5.22). Угол $S_1A_1B_1C_1$ называют полярным к углу $SABC$.
Величины его плоских и двугранных углов связаны с соответствующими величинами в исходном трёхгранном угле следующими равенствами: $\alpha_1=\pi-A$, $\beta_1=\pi-B$, $\gamma_1=\pi-C$; $A_1=\pi-\alpha$, $B_1=\pi-\beta$, $C_1=\pi-\gamma$ (проверьте!).


Я не могу доказать связь между углами этих углов. Слишком на чертеже смутно представляю (точнее, никак), с чего начинать дополнительное построение для этого доказательства (и еще как-то надо нарисовать линейный угол!). Не подскажите, пожалуйста, с чего начинать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между углами в полярном (к трёхгранному углу) угле
Сообщение11.02.2015, 15:16 
Заслуженный участник


16/02/13
2944
Владивосток
Выражать углы обоих трёхгранных и вектора полярного через вектора исходного, всякие скалярные/векторные произведения не пробовали? Я — нет. Но может таки чего интересного получиться. А может и не получиться. Не сочтите за угрозу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между углами в полярном (к трёхгранному углу) угле
Сообщение11.02.2015, 15:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1749
Москва
Если опустить перпендикуляры из $C_1$ на $A$ и $B$, то полученный угол и будет двугранный. Дальше -- просто рассмотреть полученный плоский четырехугольник.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между углами в полярном (к трёхгранному углу) угле
Сообщение11.02.2015, 15:45 


15/11/14
111
ex-math в сообщении #976801 писал(а):
Если опустить перпендикуляры из $C_1$ на $A$ и $B$, то полученный угол и будет двугранный.

Изображение
$H$ и $M$ - основания этих перпендикуляров. Тогда $\angle C_1=\angle HC_1M$ по определению. Ага, вижу связь $\gamma+C_1=\pi$ в плоскости $(SAB)$.

Но что делать с первыми тремя равенствами (например, $\alpha_1=\pi-A$)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между углами в полярном (к трёхгранному углу) угле
Сообщение11.02.2015, 16:10 
Заслуженный участник


16/02/13
2944
Владивосток
Например, доказать симметрию отношения полярности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между углами в полярном (к трёхгранному углу) угле
Сообщение11.02.2015, 16:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1749
Москва
Или рассмотреть четырехугольник $B_1S_1C_1H$. Он тоже плоский (по-хорошему, это надо обосновывать, как и в предыдущем случае, какой-нибудь вариацией на тему теоремы о трех перпендикулярах).

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между углами в полярном (к трёхгранному углу) угле
Сообщение12.02.2015, 00:12 


15/11/14
111
ex-math в сообщении #976833 писал(а):
Или рассмотреть четырехугольник $B_1S_1C_1H$. Он тоже плоский (по-хорошему, это надо обосновывать, как и в предыдущем случае, какой-нибудь вариацией на тему теоремы о трех перпендикулярах).

Изображение

Пока что вижу вот: $S_1B_1 \perp (SAC) \to \angle HB_1S_1=\dfrac{\pi}{2}$;
$S_1B_1 \perp (SAB) \to \angle HC_1S_1=\dfrac{\pi}{2}$.

Осталось только понять, почему точки $B_1$, $S_1$, $C_1$, $H$ лежат в одной плоскости. Здесь я слишком запутался! Если уж говорить про теорему о трех перпендикулярах, то где тут перпендикуляры и наклонные нужные найти, чтобы это обосновать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между углами в полярном (к трёхгранному углу) угле
Сообщение12.02.2015, 09:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1749
Москва
$B_1$ -- проекция $S_1$ на $SAC$. Чтобы точки лежали в одной плоскости достаточно показать, что проекция $C_1$ на $SAC$ лежит на прямой $B_1H$. Что касается перпендикуляров, наверняка $S_1H$ понадобится.
Странно, что это не смутило Вас в первом случае. Для того, чтобы плоский угол там был равен двугранному, нужно именно чтобы ровно те же самые точки лежали в одной плоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между углами в полярном (к трёхгранному углу) угле
Сообщение13.02.2015, 00:41 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
iifat в сообщении #976800 писал(а):
Выражать углы обоих трёхгранных и вектора полярного через вектора исходного, всякие скалярные/векторные произведения не пробовали? Я — нет. Но может таки чего интересного получиться.
Получится, но так просто, что даже неинтересно.

Пусть
$\mathbf b$ — внешняя нормаль к грани $CSA$ (например, $\mathbf b=\vec{S_1B_1}$);
$\mathbf c$ — внешняя нормаль к грани $ASB$ (например, $\mathbf c=\vec{S_1C_1}$).
Тогда
$\alpha_1$ — это угол между векторами $\mathbf b$ и $\mathbf c$;
$A$ — это угол между векторами $\mathbf b$ и $-\mathbf c$.
Их сумма будет $\pi$.

При таком подходе можно точку $S_1$ вместе со всеми «её» векторами параллельно перенести в $S$, чтобы в задаче остались только векторы и углы между ними, и ничего больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между углами в полярном (к трёхгранному углу) угле
Сообщение13.02.2015, 08:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1749
Москва
Да, в самом деле тривиально получается.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group