Связь между углами в полярном (к трёхгранному углу) угле

[lantza]

Из учебника по стереометрии, цитирую:

Цитата:

Пусть $SABC$ - трёхгранный угол, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ - величины его плоских углов, $A$, $B$, $C$ - величины двугранных углов. Возьмём внутри угла произвольную точку $S_1$ и опустим из неё перпендикуляры $S_1A_1$, $S_1B_1$, $S_1C_1$ на грани $BSC$, $ASC$, $ASB$ соответственно. Получим новый трёхгранный угол $S_1A_1B_1C_1$ (рис 5.22). Угол $S_1A_1B_1C_1$ называют полярным к углу $SABC$.
Величины его плоских и двугранных углов связаны с соответствующими величинами в исходном трёхгранном угле следующими равенствами: $\alpha_1=\pi-A$, $\beta_1=\pi-B$, $\gamma_1=\pi-C$; $A_1=\pi-\alpha$, $B_1=\pi-\beta$, $C_1=\pi-\gamma$ (проверьте!).

Я не могу доказать связь между углами этих углов. Слишком на чертеже смутно представляю (точнее, никак), с чего начинать дополнительное построение для этого доказательства (и еще как-то надо нарисовать линейный угол!). Не подскажите, пожалуйста, с чего начинать?

[iifat]

Выражать углы обоих трёхгранных и вектора полярного через вектора исходного, всякие скалярные/векторные произведения не пробовали? Я — нет. Но может таки чего интересного получиться. А может и не получиться. Не сочтите за угрозу.

[ex-math]

Если опустить перпендикуляры из $C_1$ на $A$ и $B$, то полученный угол и будет двугранный. Дальше -- просто рассмотреть полученный плоский четырехугольник.

[lantza]

ex-math в сообщении #976801 писал(а):

Если опустить перпендикуляры из $C_1$ на $A$ и $B$, то полученный угол и будет двугранный.

$H$ и $M$ - основания этих перпендикуляров. Тогда $\angle C_1=\angle HC_1M$ по определению. Ага, вижу связь $\gamma+C_1=\pi$ в плоскости $(SAB)$.

Но что делать с первыми тремя равенствами (например, $\alpha_1=\pi-A$)?

[iifat]

Например, доказать симметрию отношения полярности.

[ex-math]

Или рассмотреть четырехугольник $B_1S_1C_1H$. Он тоже плоский (по-хорошему, это надо обосновывать, как и в предыдущем случае, какой-нибудь вариацией на тему теоремы о трех перпендикулярах).

[lantza]

ex-math в сообщении #976833 писал(а):

Или рассмотреть четырехугольник $B_1S_1C_1H$. Он тоже плоский (по-хорошему, это надо обосновывать, как и в предыдущем случае, какой-нибудь вариацией на тему теоремы о трех перпендикулярах).

Пока что вижу вот: $S_1B_1 \perp (SAC) \to \angle HB_1S_1=\dfrac{\pi}{2}$;
$S_1B_1 \perp (SAB) \to \angle HC_1S_1=\dfrac{\pi}{2}$.

Осталось только понять, почему точки $B_1$, $S_1$, $C_1$, $H$ лежат в одной плоскости. Здесь я слишком запутался! Если уж говорить про теорему о трех перпендикулярах, то где тут перпендикуляры и наклонные нужные найти, чтобы это обосновать?

[ex-math]

$B_1$ -- проекция $S_1$ на $SAC$. Чтобы точки лежали в одной плоскости достаточно показать, что проекция $C_1$ на $SAC$ лежит на прямой $B_1H$. Что касается перпендикуляров, наверняка $S_1H$ понадобится.
Странно, что это не смутило Вас в первом случае. Для того, чтобы плоский угол там был равен двугранному, нужно именно чтобы ровно те же самые точки лежали в одной плоскости.

[svv]

iifat в сообщении #976800 писал(а):

Выражать углы обоих трёхгранных и вектора полярного через вектора исходного, всякие скалярные/векторные произведения не пробовали? Я — нет. Но может таки чего интересного получиться.

Получится, но так просто, что даже неинтересно.

Пусть
$\mathbf b$ — внешняя нормаль к грани $CSA$ (например, $\mathbf b=\vec{S_1B_1}$);
$\mathbf c$ — внешняя нормаль к грани $ASB$ (например, $\mathbf c=\vec{S_1C_1}$).
Тогда
$\alpha_1$ — это угол между векторами $\mathbf b$ и $\mathbf c$;
$A$ — это угол между векторами $\mathbf b$ и $-\mathbf c$.
Их сумма будет $\pi$.

При таком подходе можно точку $S_1$ вместе со всеми «её» векторами параллельно перенести в $S$, чтобы в задаче остались только векторы и углы между ними, и ничего больше.

[ex-math]

Да, в самом деле тривиально получается.