Снова о старом: запутанные состояния

[AlexDem]

santafede в сообщении #977236 писал(а):

Если же частица находится в таком состоянии, что проекция момента на $l$ дает любое из двух значений, то напротив, проекция на $l^\prime$ будет принимать одно и то же значение в таком состоянии.

(сперва не то написал, удалил)
Для того, чтобы это было так, у нас должна быть частица в чистом состоянии, а у нас этого нет. Для смеси ни по одной оси не будет определённости.

[santafede]

AlexDem в сообщении #977231 писал(а):

Суперпозиция $(\left|\uparrow\rangle + \left|\downarrow\rangle) \otimes (\left|\uparrow\rangle + \left|\downarrow\rangle)$ это не то же самое, что $\left|\uparrow\downarrow\rangle + \left|\downarrow\uparrow\rangle$.

вот этот момент поясните пожалуйста, думаю в этом все и дело.

Почему нет чистого состояния ни по одной оси?

[AlexDem]

$(\left|\uparrow\rangle + \left|\downarrow\rangle) \otimes (\left|\uparrow\rangle + \left|\downarrow\rangle)$
распишем:
$(1 0)' + (0 1)' = (1 1)'$
$(1 1)' \otimes (1 1)' = (1 1 1 1)'$

$\left|\uparrow\downarrow\rangle + \left|\downarrow\uparrow\rangle$
распишем:
$(1 0)' \otimes (0 1)' = (0 0 1 0)'$
$(0 1)' \otimes (1 0)' = (0 1 0 0)'$
$(0 0 1 0)' + (0 1 0 0)' = (0 1 1 0)'$

Как видите, это разные состояния. В первом случае система сепарабельна (подсистемы не зависят друг от друга), а во втором - нет. То есть, строго говоря, выделять частицу и рассматривать её отдельно в последнем случае Вы не вправе.

-- Чт фев 12, 2015 12:23:57 --

santafede в сообщении #977242 писал(а):

Почему нет чистого состояния ни по одной оси?

(А как только выделили частицу из несепарабельного состояния - будьте любезны, получИте смесь, а не чистое состояние)

[santafede]

Хорошо, а если речь идет об одной частице. Пусть частица находится в суперпозиции состояний $|\uparrow>+|\downarrow>$ в проекции на некоторую ось. Тогда проекция на перпендикулярную ось (т.к. это чистое состояние) будет иметь опред. значение. Если эту суперпозицию "разрушить", то будет одно из двух чистых состояний - $|\uparrow>$ или $|\downarrow>$, и оба варианта не имеют определенного знач. проекции на перпендикулярную ось. Так, в случае одной частицы мы можем отличить суперпозицию состояний от смеси.
Собственно мой вопрос заключается в том, можно ли так же "заметить" это разрушение суперпозиции состояний системы из 2-х частиц, проделывая измерения только с одной из них?

[AlexDem]

santafede в сообщении #977249 писал(а):

Пусть частица находится в суперпозиции состояний $|\uparrow>+|\downarrow>$

Я вот подумал - а правильно ли я там обозначил состояние частицы вектором, ведь если нам её спин достоверно неизвестен (неполная информация), то здесь вообще нужна матрица плотности. У меня есть книжка Блум "Теория матрицы плотности и её приложения", но что-то я пока не могу прийти к верному пониманию. Я постараюсь сообразить и ответить попозже.

Вам пока порекомендую похожую тему с интерференцией (ссылка) (и ещё одна), где рассматривался близкий парадокс.

[santafede]

Спасибо, буду читать.

[santafede]

Думаю, проблему, в общем виде можно сформулировать так:

Система из двух ч-ц с коорд. $x_1$ и $x_2$ и спиновыми переменными $s_1$ и $s_2$ до измерения описывается волновой ф-цией $\psi(x_1,x_2,s_1,s_2)$ (чистое состояние).

Подсистема, соотв. 2-й частице описывается матрицей плотности

$\rho(x_2,x^\prime_2,s_2,s^\prime_2)=\int\psi(x_1,x_2,s_1,s_2)\psi^*(x_1,x^\prime_2,s_1,s^\prime_2)dx_1ds_1$

После измерения некоторой наблюдаемой, относящейся к 1-й подсистеме, система "скатывается" в одно из собственных состояний этой наблюдаемой, так что состояние системы после измерения представляет собой смесь этих состояний и описывается матрицей плотности $\rho^\prime(x_1,x_2,s_1,s_2,x^\prime_1,x^\prime_2,s^\prime_1,s^\prime_2)$.

Вопрос: какой будет МП 2-й подсистемы после измерения наблюдаемой, относящейся к 1-й? Другими словами - возможно ли, производя измерения наблюдаемых, относящихся ко 2-й подсистеме определить, производилось ли измерение первой?

P.S.: действие оператора на подсистему может быть записано в виде

$\widehat{A}_1\psi(x_1,x_2,s_1,s_2)=\int A_1(x_1,s_1,x^\prime_1,s^\prime_1)\psi(x_1,x_2,s_1,s_2)dx^\prime_1ds^\prime_1$

[AlexDem]

santafede в сообщении #977303 писал(а):

Вопрос: какой будет МП 2-й подсистемы после измерения наблюдаемой, относящейся к 1-й?

Матрицы плотности при разделении на подсистемы записываются ещё до измерений, так что МП 2-й подсистемы после измерений 1-й останется такой же, какой и была.

[santafede]

Суперпозиция состояний с некоторыми коэффициентами и их смесь (с соответствующими вероятностями) - описываются одной и той же матрицей плотности?

[AlexDem]

Нет, но я этого и не говорил.

[santafede]

AlexDem в сообщении #977397 писал(а):

МП 2-й подсистемы после измерений 1-й останется такой же, какой и была

Мне кажется, отсюда это следует, т.к. вообще говоря система находившаяся в суперпозиции, скажем, двух собственных состояний оператора измеряемой величины, после измерения переходит с разной вероятностью в одно из этих состояний, т.е., в их смесь.

Вы говорите, что матрица плотности не меняется после измерения, значит МП суперпозиции совпадает с МП смеси.

[AlexDem]

santafede в сообщении #977403 писал(а):

Вы говорите, что матрица плотности не меняется после измерения, значит МП суперпозиции совпадает с МП смеси.

Читайте внимательнее. Матрица плотности 2-й системы не меняется при измерении 1-й. У первой системы после измерения вектор состояния будет, т.к. о ней всё узнали (ну вектор можно заменить матрицей плотности с единичным следом). Естественно матрица плотности полной системы при этом меняется, т.к. состояние 1-й подсистемы поменялось.

[santafede]

AlexDem в сообщении #977406 писал(а):

Матрица плотности 2-й системы не меняется при измерении 1-й.

Для меня это не очевидно. Мне кажется возможной такая цепь событий: измерили 1-ю подсистему --> изменилась МП всей системы --> изменилась МП 2-й подсистемы. Почему нет?

Собственно, в этом и заключался вопрос - возможно ли такого рода "взаимодействие" подсистем, или нет? Если нет, то почему?

[AlexDem]

santafede в сообщении #977412 писал(а):

изменилась МП 2-й подсистемы. Почему нет?

Потому что подсистемы не взаимодействуют, с чего бы меняться состоянию 2-й подсистемы?

santafede в сообщении #977412 писал(а):

Собственно, в этом и заключался вопрос - возможно ли такого рода "взаимодействие" подсистем, или нет? Если нет, то почему?

Потому что оно не наблюдается в природе (до сих пор никто не наблюдал). "Сверхсветовой телеграф" невозможен - так пишут в статьях по КМ.

[santafede]

Спасибо конечно, но это ответ из серии "вечный двигатель невозможен в силу закона сохранения энергии." Разумеется я не пытаюсь тут создать "сверхсветовой телеграф", мне просто хотелось бы понять, что конкретно делает это невозможным в данном случае?