Снова о старом: запутанные состояния

[santafede]

Рассмотрим известный мысленный эксперимент: имеются два прибора 1 и 2, измеряющих проекцию спина некоторой частицы на любое выбранное направление (типа анализатора Штерна-Герлаха). Каждый из этих приборов выдает два возможных значения: "+" - спин вверх и "-" - спин вниз.
Посередине между детекторами находится источник коррелированых пар частиц со спином 1/2. По условию, эти частицы находятся в состоянии суперпозиции: "|+-> + |-+>", т.е., после измерения любым из двух детекторов, система частиц переходит в одно из двух состояний: либо "|+->" либо "|-+>" (это уже не суперпозиция).
Допустим, что ось, проекцию спина на к-рую измеряет прибор 1 перпендикулярна оси прибора 2, а так же, что прибор 1 может быть включен или выключен.
Пусть сначала прибор 1 включен. Тогда в прибор 2 частица попадает в одном из двух состояний - "+" или "-" в смысле проекции на ось прибора 1. Однако, в каком бы из этих состояний ни находилась частица 2, проекция ее спина на ось 2 (которая перпендикулярна оси первого прибора) будет в каждом измерении из некоторой серии с равной вероятностью принимать значения "влево" и "вправо".
Если прибор 1 выключен, то в прибор 2 частицы попадают в суперпозиции состояний "спин вверх" и "спин вниз", что соответствует определенному значению проекции спина на ось 2.
Итак, если 1 включен, то серия измерений на 2 будет давать то одно значение проекции, то другое. Если же 1 выключен, то в серии измерений 2 будет каждый раз получаться одно и то же значение.
Выходит, что путем таких серий измерений наблюдатель 2 может определить, включен или выключен прибор 1, ну а как вы понимаете, расстояние между приборами может быть любым (в принципе) и частота измерений в каждой серии вроде бы может быть сколь угодно большой. Получается, что включая и выключая 1, можно передавать сигнал на 2 со сколь угодно большой скоростью :)

[AlexDem]

santafede в сообщении #977180 писал(а):

Итак, если 1 включен, то серия измерений на 2 будет давать то одно значение проекции, то другое. Если же 1 выключен, то в серии измерений 2 будет каждый раз получаться одно и то же значение.

Ничего подобного не будет. Но для начала - не могли бы Вы описать постановку задачи более чётко? Почитайте Фейнмановский лекции по физике, т.8 - там про анализатор Штерна-Герлаха написано очень подробно.

[santafede]

Хорошо, пусть имеется некий прибор, измеряющий проекцию спина частицы на ось $l$. Есть второй такой же прибор, измеряющий проекцию спина на ось $l^\prime.$ Будем считать что они перпендикулярны.

Допустим, некоторая ч-ца со спином 1/2 находится в таком состоянии, что ее проекция на ось $l$ принимает в каждом акте измерения одно и то же значение, т.е. чистое состояние оператора проекции момента на ось $l$.

Я утверждаю, что если частица находится в таком состоянии, то значение проекции момента на ось $l^\prime$ может с равной вероятностью принимать как одно так и другое значение (а всего их два). Просто оператор проекции на $l$ не коммутирует с оператором проекции на $l^\prime$.

Это утверждение правильное или нет?

[AlexDem]

Да, по-моему, верно.

[santafede]

Вот. Теперь я рассматриваю систему из дух частиц со спином 1/2. Эта система, вообще говоря описывается одной общей волновой функцией. Предположим, что по какой-то причине (например, в силу закона сохр. момента) эта система находится в таком состоянии, что результаты измерения проекций моментов этих частиц на ось $l$ коррелируют: например, если одна частица находится в собст. состоянии оператора проекции момента на $l$, соответствующем СЗ +1, то др. частица тоже находится в собст. сост. оператора проекции, но с СЗ -1 и наоборот.

Обозначим |+-> состояние системы в к-ром измерение проекции момента 1-й частицы всегда дает "+", а второй - всегда минус. Соответственно |-+> когда наоборот. Предположим, что система находится в суперпозиции этих состояний с одинаковыми коэффициентами.

Я полагаю, что в таком состоянии измерение проекции момента одной частицы может дать с равной вероятностью как "+" так и "-". Верно?

[AlexDem]

santafede в сообщении #977213 писал(а):

эта система находится в таком состоянии, что результаты измерения проекций моментов этих частиц на ось $l$ коррелируют

Тоже вроде верно. Но Вы же далее на $l'$ хотите измерить, а там никакой корреляции с результатами для $l$ не будет.

[santafede]

Допустим теперь мы произвели измерение проекции момента 1-й частицы на ось $l$. Согласно постулату о редукции, состояние системы из суперпозиции переходит в одно из состояний, ее составлявших, т.е. в |+-> либо |-+>.

Таким образом, когда мы произвели измерение над ч-цей 1 мы разрушили суперпозицию состояний. Допустим, для определенности, что система перешла в состояние |+->. Это означает, что измерение проекции момента 2-й ч-цы на $l$ будет теперь давать один и тот же результат. Поскольку проекция на $l$ имеет точное значение и не коммутирует с проекцией на перпендикулярную ей $l^\prime$, то проекция момента 2-й частицы на $l^\prime$ после измерения 1-й не будет иметь определенного значения, так?

[AlexDem]

santafede в сообщении #977218 писал(а):

то проекция момента 2-й частицы на $l^\prime$ после измерения 1-й не будет иметь определенного значения, так?

Она и до измерения не имела.

[santafede]

До измерения система находилась в суперпозиции |+-> и |-+> с одинаковыми коэффициентами, поэтому, при измерении проекции момента 2-й частицы (равно как и первой) на ось $l$, как вы вроде согласились раньше, будут получаться "+" и "-" с равной вероятностью. Что же хотите сказать, что проекция спина 2-й частицы на перпендикулярную ось $l^\prime$ тоже будет давать разные значения?
Т.е. получается, что у одной из частиц до измерения другой проекция момента на любую ось не имеет опр. (в статистическом смысле) значения?
Мне казалось, что всегда можно выбрать некоторое направление, проекция момента на к-рое принимает опред. значение. Возможно я не прав, ничего не утверждаю.

[AlexDem]

santafede в сообщении #977223 писал(а):

До измерения система находилась в суперпозиции |+-> и |-+> с одинаковыми коэффициентами

Относительно оси $l$. А относительно $l'$ там всегда была смесь - что до измерения, что после. И результаты измерения по $l'$ здесь никогда не коррелируют с ортогональной $l$ - ни до измерения, ни после.

Если бы мы меряли всё по оси $l$, то оба измерения были бы скоррелированы, а так - нет, если вы на одной стороне по $l$ получили спин вверх, но на другой по $l'$ получите влево или вправо с вероятностью $50\%$ (до измерения - то же самое: влево или вправо с вероятностью $50\%$, т.к. по $l'$ система запутанной никогда и не была).

[santafede]

Но если мы следим за спином только одной частицы - мы ведь будем с равной вероятностью получать для проекции на $l$ как вверх так и вниз. Не означает ли это, что измеряемая частица находится в суперпозиции этих состояний?

Т.е. по вашему, проекция какой либо из частиц на $l$ будет давать оба результата 50/50 и проекция на $l^\prime$ - тоже 50/50?

[AlexDem]

santafede в сообщении #977227 писал(а):

Но если мы следим за спином только одной частицы - мы ведь будем с равной вероятностью получать для проекции на $l$ как вверх так и вниз. Не означает ли это, что измеряемая частица находится в суперпозиции этих состояний?

Суперпозиция $(\left|\uparrow\rangle + \left|\downarrow\rangle) \otimes (\left|\uparrow\rangle + \left|\downarrow\rangle)$ это не то же самое, что $\left|\uparrow\downarrow\rangle + \left|\downarrow\uparrow\rangle$.

santafede в сообщении #977227 писал(а):

Т.е. по вашему, проекция какой либо из частиц на $l$ будет давать оба результата 50/50 и проекция на $l^\prime$ - тоже 50/50?

Да (это так будет в любом случае, Вы же хотели спросить, наверное, будут ли результаты взаимосвязаны - нет, не будут).

-- Чт фев 12, 2015 11:54:40 --

(...Вы, кстати, сами об этом писали)

santafede в сообщении #977203 писал(а):

Я утверждаю, что если частица находится в таком состоянии, то значение проекции момента на ось $l^\prime$ может с равной вероятностью принимать как одно так и другое значение (а всего их два). Просто оператор проекции на $l$ не коммутирует с оператором проекции на $l^\prime$.

[santafede]

Странно. Я думал, что если проекция момента на некоторую ось принимает одно и то же значение в каждом акте измерения, то проекция на перпендикулярную ей ось будет 50/50 и наоборот.

[AlexDem]

santafede в сообщении #977233 писал(а):

и наоборот

А это почему?

[santafede]

AlexDem в сообщении #977231 писал(а):

Я утверждаю, что если частица находится в таком состоянии, то значение проекции момента на ось $l^\prime$ может с равной вероятностью принимать как одно так и другое значение (а всего их два). Просто оператор проекции на $l$ не коммутирует с оператором проекции на $l^\prime$.

Ну так речь шла о состоянии с определенным значением проекции на $l$. В том то и дело. Если же частица находится в таком состоянии, что проекция момента на $l$ дает любое из двух значений, то напротив, проекция на $l^\prime$ будет принимать одно и то же значение в таком состоянии.