Маленькое упражнение по уравнению Шрёдингера

[Kamaz]

zask в сообщении #725323 писал(а):

Тоже интересно.

Вот здесь можно посмотреть о поляритонах в представлении плотность-фаза http://www.jetpletters.ac.ru/ps/1558/ar ... 3838.shtml

Наслаждайтесь, коллега! Кстати, у вас написано "Энск" - Это Новосибирск?

[zask]

Kamaz, спасибо.

Kamaz в сообщении #725360 писал(а):

Кстати, у вас написано "Энск" - Это Новосибирск?

Да.

[Kamaz]

zask в сообщении #725407 писал(а):

Kamaz в сообщении #725360 писал(а):
Кстати, у вас написано "Энск" - Это Новосибирск?
Да.

Значит, мы с вами еще и соседи в академгородке Рад приветствовать!

[Munin]

Munin в сообщении #724204 писал(а):

Отличия от частных производных интересны. Некоторые слагаемые не исчезают (как я от них ожидал), но меняют знак. Появляется новое слагаемое.
Помогите интерпретировать результат.

Кажется, я понял свою ошибку. Я брал "субстанциональную производную", как для скалярных (галилее-инвариантных) величин, но волновая функция таковой не является. Преобразование волновой функции при преобразовании Галилея написано в ЛЛ-3 в задаче после § 17. Соответственно, субстанциональную производную тоже надо модифицировать, чтобы она была локальной версией такого преобразования Галилея.

[Freude]

Может это очень тривиально, но я покажу что получилось, когда я попытался найти среднее значение некоторых наблюдаемых в одномерном случае, используя фолновую функцию вида $\Psi=\psi e^{i \phi}$.

• Координата $\hat{x}$:
  
  
  $$<\hat{x}>=\int x \psi^2 dx $$
  
  
• Импульс $\hat{p}$

$$<\hat{p}>=i \int \psi \frac{d\psi}{dx} dx - \int \psi^2 \frac{d\phi}{dx} dx = - \int \frac{d\phi}{dx} \psi^2 dx$$

Первое слагаемое в правой части приравнял нулю, потому что среднее значение наблюдаемой должно быть действительным числом. Получается, что для амплитуды, чтобы она имела физический смысл, должно выполняться $\int \psi \frac{d\psi}{dx} dx =0$. Это правда?

[Red_Herring]

Freude
Умножать то надо на $\bar{\psi}$ !

[Freude]

Red_Herring в сообщении #976320 писал(а):

Freude
Умножать то надо на $\bar{\psi}$ !

Так она же действительная по условию задачи (см. первый пост from Munin), поэтому я полагал $\bar{\psi}=\psi$

[Red_Herring]

Ну тогда заметим что $\psi \frac{\partial\psi}{\partial x} = \frac{1}{2}\frac{\partial\psi^2}{\partial x}$ и видим, что этот интеграл равен 0 автоматически. При этом все с.ф. оператора Шрёдингера без магнитного поля можно выбрать вещественными. Magnetic field however brings complexity (в обоих смыслах).

[Bobikoff]

Munin в сообщении #724204 писал(а):

Волновая функция (по крайней мере, в квазиклассическом приближении) может быть интерпретирована как сочетание двух функций: амплитуды и фазы - имеющих раздельные физические смыслы.

а в уравнении Дирака, наверное, они одно и тоже и не разделяются?

[Munin]

Для таких вопросов есть раздел "Помогите решить / разобраться". Любое комплексное число может быть представлено в виде $z=\left\lvert z\right\rvert e^{i\operatorname{arg}z}.$

[Red_Herring]

Bobikoff в сообщении #977006 писал(а):

а в уравнении Дирака, наверное, они одно и тоже и не разделяются?

В квазиклассическом приближении разделяются $\psi = A(x,t) e^{i\hbar^{-1}\phi(x,t)}$ где $\phi$–скалярная, а $A(x,t)$—"векторная" функция (где под векторной понимается со значениями в том же векторном пространстве, что и $\psi$; разумеется это пространство спиноров, но для других уравнений это м.б. и другое пр-во).

[maximav]

Munin в сообщении #974041 писал(а):

Munin в сообщении #724204 писал(а):

Отличия от частных производных интересны. Некоторые слагаемые не исчезают (как я от них ожидал), но меняют знак. Появляется новое слагаемое.
Помогите интерпретировать результат.

Кажется, я понял свою ошибку. Я брал "субстанциональную производную", как для скалярных (галилее-инвариантных) величин, но волновая функция таковой не является. Преобразование волновой функции при преобразовании Галилея написано в ЛЛ-3 в задаче после § 17. Соответственно, субстанциональную производную тоже надо модифицировать, чтобы она была локальной версией такого преобразования Галилея.

Я в связи с этим задумался. А что делать с еще одной нетривиальной симметрии свободного УШ. Не той, что представляет преобразование пси по галилею (ЛЛ, п.17), а другая. Кто-нибудь исследовал этот вопрос? Но ведь формально такая калибровочная симметрия есть и с ней нужно что-то сделать-понять.

[Munin]

Не говорите загадками.

[maximav]

Я имел в виду ковариантность $\psi_t=\psi_{xx}$ относительно группы

$$t^2\partial_t+tx\partial_x-\frac14(x^2+2t)\psi\partial_\psi\,.$$

Она тоже являет линейное представление, только не галилеевской $t\partial_x$, а "конформной" $t^2\partial_t+tx\partial_x$. Обе симметрии - локально калибровочные, хотя во второй, наверно, существенны слова про "вещественности" и "несингулярности". Вряд ли этот момент обойден вниманием, поэтому и спрашиваю.

[Munin]

Я не слышал, надо спрашивать математиков.