Равномерная сходимость несобственных интегралов по параметру

[Viktor92]

Помогите с доказательством, что интеграл сходится равномерно на множестве $E_1=[-1,\frac 2 3]$ и сходится не равномерно на $E_2=[-1;1)$

$$\int \limits_1^2 \frac {dx}{(x-1)^a}$$

.

Если $a<0$, то интеграл при $x=1$ будет уже не несобственным, а просто тождественно равный нулю, значит в данной задачи подразумевается под особой точкой $x=1$, при $a>0$ ?
Незнаю с чего и подступиться, применять непосредственно определение равномерной сходимости, критерий Коши или мажорантный признак Вейерштрасса? Например если по определению, $\lambda\to0+0$

$$\left|\int \limits_{1+\lambda}^{2}\frac {dx}{(x-1)^a}- \int \limits_{1}^{2}\frac {dx}{(x-1)^a}\right|=\left| \int \limits_{1}^{1+\lambda}\frac {dx}{(x-1)^a}\right|<\epsilon$$

А дальше не знай что...

[ex-math]

Проще по определению, конечно. Интеграл-то последний у Вас вычисляется, вот и смотрите, когда он меньше $\varepsilon$.

[Viktor92]

Спасибо. Вот как получилось:

$$\int \limits_{1}^{1+\lambda}\frac {dx}{(x-1)^a}=\frac{(x-1)^{1-\alpha}}{1-\alpha}\bigg|_{1}^{1+\lambda}=\left| \frac{\lambda}{1-\alpha}\right|<\epsilon$$

Откуда видна расходимость при $\alpha\to1$, $\left|\frac{\lambda}{1-\alpha}\right|\to\infty$

[ex-math]

Принципиально верно. Надеюсь, что Вы там кванторы в правильном порядке расставите, где "существует", где "для любого".

[Viktor92]

Ну к примеру ответ о равномерной сходимости на $E_1$ я так записал:

$$\forall\varepsilon \exists\delta(\varepsilon) : \forall \lambda\in(0,\delta)$$

выполняется

$$\left|\int \limits_{1}^{1+\lambda} \frac{dx}{(x-1)^\alpha}\right|<\varepsilon$$

сразу для всех

$$\alpha \in{E_1}$$

[ex-math]

ОК.