2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Равномерная сходимость несобственных интегралов по параметру
Сообщение10.02.2015, 21:33 


10/09/14
284
Помогите с доказательством, что интеграл сходится равномерно на множестве $E_1=[-1,\frac 2 3]$ и сходится не равномерно на $E_2=[-1;1)$ $$\int \limits_1^2 \frac {dx}{(x-1)^a}$$.

Если $a<0$, то интеграл при $x=1$ будет уже не несобственным, а просто тождественно равный нулю, значит в данной задачи подразумевается под особой точкой $x=1$, при $a>0$ ?
Незнаю с чего и подступиться, применять непосредственно определение равномерной сходимости, критерий Коши или мажорантный признак Вейерштрасса? Например если по определению, $\lambda\to0+0$
$$\left|\int \limits_{1+\lambda}^{2}\frac {dx}{(x-1)^a}- \int \limits_{1}^{2}\frac {dx}{(x-1)^a}\right|=\left| \int \limits_{1}^{1+\lambda}\frac {dx}{(x-1)^a}\right|<\epsilon$$
А дальше не знай что...

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость несобственных интегралов по параметру
Сообщение10.02.2015, 22:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1749
Москва
Проще по определению, конечно. Интеграл-то последний у Вас вычисляется, вот и смотрите, когда он меньше $\varepsilon$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость несобственных интегралов по параметру
Сообщение11.02.2015, 14:07 


10/09/14
284
Спасибо. Вот как получилось:
$$\int \limits_{1}^{1+\lambda}\frac {dx}{(x-1)^a}=\frac{(x-1)^{1-\alpha}}{1-\alpha}\bigg|_{1}^{1+\lambda}=\left| \frac{\lambda}{1-\alpha}\right|<\epsilon$$
Откуда видна расходимость при $\alpha\to1$, $\left|\frac{\lambda}{1-\alpha}\right|\to\infty$

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость несобственных интегралов по параметру
Сообщение11.02.2015, 14:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1749
Москва
Принципиально верно. Надеюсь, что Вы там кванторы в правильном порядке расставите, где "существует", где "для любого".

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость несобственных интегралов по параметру
Сообщение11.02.2015, 15:53 


10/09/14
284
Ну к примеру ответ о равномерной сходимости на $E_1$ я так записал:

$$\forall\varepsilon \exists\delta(\varepsilon) : \forall \lambda\in(0,\delta)$$
выполняется $$\left|\int \limits_{1}^{1+\lambda} \frac{dx}{(x-1)^\alpha}\right|<\varepsilon$$
сразу для всех $$\alpha \in{E_1}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость несобственных интегралов по параметру
Сообщение11.02.2015, 16:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1749
Москва
ОК.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group