2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Равномерная сходимость несобственных интегралов по параметру
Сообщение10.02.2015, 21:33 
Помогите с доказательством, что интеграл сходится равномерно на множестве $E_1=[-1,\frac 2 3]$ и сходится не равномерно на $E_2=[-1;1)$ $$\int \limits_1^2 \frac {dx}{(x-1)^a}$$.

Если $a<0$, то интеграл при $x=1$ будет уже не несобственным, а просто тождественно равный нулю, значит в данной задачи подразумевается под особой точкой $x=1$, при $a>0$ ?
Незнаю с чего и подступиться, применять непосредственно определение равномерной сходимости, критерий Коши или мажорантный признак Вейерштрасса? Например если по определению, $\lambda\to0+0$
$$\left|\int \limits_{1+\lambda}^{2}\frac {dx}{(x-1)^a}- \int \limits_{1}^{2}\frac {dx}{(x-1)^a}\right|=\left| \int \limits_{1}^{1+\lambda}\frac {dx}{(x-1)^a}\right|<\epsilon$$
А дальше не знай что...

 
 
 
 Re: Равномерная сходимость несобственных интегралов по параметру
Сообщение10.02.2015, 22:29 
Аватара пользователя
Проще по определению, конечно. Интеграл-то последний у Вас вычисляется, вот и смотрите, когда он меньше $\varepsilon$.

 
 
 
 Re: Равномерная сходимость несобственных интегралов по параметру
Сообщение11.02.2015, 14:07 
Спасибо. Вот как получилось:
$$\int \limits_{1}^{1+\lambda}\frac {dx}{(x-1)^a}=\frac{(x-1)^{1-\alpha}}{1-\alpha}\bigg|_{1}^{1+\lambda}=\left| \frac{\lambda}{1-\alpha}\right|<\epsilon$$
Откуда видна расходимость при $\alpha\to1$, $\left|\frac{\lambda}{1-\alpha}\right|\to\infty$

 
 
 
 Re: Равномерная сходимость несобственных интегралов по параметру
Сообщение11.02.2015, 14:19 
Аватара пользователя
Принципиально верно. Надеюсь, что Вы там кванторы в правильном порядке расставите, где "существует", где "для любого".

 
 
 
 Re: Равномерная сходимость несобственных интегралов по параметру
Сообщение11.02.2015, 15:53 
Ну к примеру ответ о равномерной сходимости на $E_1$ я так записал:

$$\forall\varepsilon \exists\delta(\varepsilon) : \forall \lambda\in(0,\delta)$$
выполняется $$\left|\int \limits_{1}^{1+\lambda} \frac{dx}{(x-1)^\alpha}\right|<\varepsilon$$
сразу для всех $$\alpha \in{E_1}$$

 
 
 
 Re: Равномерная сходимость несобственных интегралов по параметру
Сообщение11.02.2015, 16:31 
Аватара пользователя
ОК.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group