Пи спираль (?)

[ewert]

tolstopuz в сообщении #976411 писал(а):

$1^\pi=e^0$?

Нет, конечно. $(\pi-e)^0=1$.

Правда, в этой формуле не хватает ещё $\alpha$ (постоянной тонкой структуры); но её нетрудно добавить.

[tolstopuz]

ewert в сообщении #976507 писал(а):

Нет, конечно. $(\pi-e)^0=1$.

$e^{0\pi}=1$ еще больше похоже на оригинал.

[gris]

Я не просто так поместил сообщение про константы. Ещё в той, забытой в чулане, теме ТС озвучил свою благородную цель: визуализировать соотношение между двумя великими константами. Все эти спирали и шестерёнки нужны для того, чтобы в некотором геометрическом построении слить в вещественном союзе $e$ и $\pi$, как они сливаются в комплексной формуле Эйлера. Первый этап — построение отрезков соответствующих длин. Примеры со спиралью и векторным произведением показывают, что отрезок $\pi$ появляется в различных неожиданных местах в предельной форме. Можно, конечно, и складвать длины сторон вписанного правильного многоугольника. Можно и $e$ получить бесконечным построением, пользуясь представлением числа в виде ряда или второго зам. предела. Но хотелось бы получить оба числа в едином красивом и наглядном построении.
Надеюсь, что автор простит мне сию вольность в раскрытии замыслов.

[Stas_S]

gris в сообщении #976745 писал(а):

Я не просто так поместил сообщение про константы. Ещё в той, забытой в чулане, теме ТС озвучил свою благородную цель: визуализировать соотношение между двумя великими константами. Все эти спирали и шестерёнки нужны для того, чтобы в некотором геометрическом построении слить в вещественном союзе $e$ и $\pi$, как они сливаются в комплексной формуле Эйлера. Первый этап — построение отрезков соответствующих длин. Примеры со спиралью и векторным произведением показывают, что отрезок $\pi$ появляется в различных неожиданных местах в предельной форме. Можно, конечно, и складвать длины сторон вписанного правильного многоугольника. Можно и $e$ получить бесконечным построением, пользуясь представлением числа в виде ряда или второго зам. предела. Но хотелось бы получить оба числа в едином красивом и наглядном построении.
Надеюсь, что автор простит мне сию вольность в раскрытии замыслов.

Ни за что! Ни в коем случае не простит. Напротив, сильно обрадуется и с удовольствием поучаствует (иногда и созерцателем) в таких попытках ....!!!

[grizzly]

gris в сообщении #976349 писал(а):

Предъявить же конкретную разрезку зилёненького треугольничка и уложить его в галубенький вот так сразу не могу.

Если там углы по 60 градусов, а треугольники равносторонние (общий зелёный и оба синих), тогда проще по-другому резать. Отрезать от общего зелёного верхушку равную синему. А то что осталось превратить в прямоугольник с отношением сторон близким к 1/2 и затем стандартным образом: прямоугольник --> в квадрат, квадрат --> в равносторонний треугольник.

[gris]

ИСН недавно сказал $\approx$, что равновеликие многоугольники равносоставны с помощью конечного числа треугольников.
У нас угол может быть очень острым.

[Stas_S]

Как то так, случайно(?), вспомнились совершенные числа.
При построении нашей "шестеренки" образуются некие "делители-ромбики" из которых состоит "шестеренка", и с учетом того, что векторы единичные, - начиная с $\pi/2$.
Не представляю о каком "совершенстве" в этом случае может идти речь, но сумма (площадь) "делителей-ромбиков" выглядит вот так:

$\sin({\pi/2}) +\sin({\pi/4})+\sin({\pi/8})+...+\sin({\pi/2^n})+...$

Очень грубый подсчет дает результат в районе 2,5-2,6.
Какое это число и чем оно интересно - покажет только анализ. (???)

[Aritaborian]

Stas_S в сообщении #977010 писал(а):

Очень грубый подсчет дает результат в районе 2,5-2,6.

$2{,}48104991...$

[Stas_S]

Aritaborian в сообщении #977017 писал(а):

Stas_S в сообщении #977010 писал(а):

Очень грубый подсчет дает результат в районе 2,5-2,6.

$2{,}48104991...$

Это я уже добавил маленько, авансом . Но 2,48104991... мне больше нравится!!!

А 2,52 - за счастье!

[Stas_S]

Если начать строительство шестерни не с 4-х квадратов, а с трех ромбов, когда начальный угол между векторами будет равен 120 градусам, площадь предельной шестерни при этом не изменится, а вот сумма площадей "делителей-ромбиков" получится уже другая, 2.752...

[Stas_S]

Перед нами два ряда. Эти суммы (площади) наших делителей-ромбиков - отличаются только начальными условиями построения шестеренки. Первая - 4 вектора, вторая - 3 вектора.

$\sin({\pi/2}) +\sin({\pi/4})+\sin({\pi/8})+...+\sin({\pi/2^n})+...$

$\sin({2\pi/3}) +\sin({4\pi/9})+\sin({8\pi/27})+...+\sin({\pi\cdot{(2/3)}^n})+...$

Опять же, грубый подсчет "суммы этих сумм" (оба ряда сложить) довольно близко подступает к $2\varphi^2=5,23606$ (1,618... Золотое). Расхождение всего 0,0027757....... (??????)

Нужна аналитика, взялся бы кто..... Чем черт не шутит? А сегодня пятница и тринадцатое.....

($\varphi = 2 \sin (3\pi/10)$)

[Gematria]

Stas_S в сообщении #972390 писал(а):

Вот результат работы,
построение № 1 000 000 000 000 000 000 - 3,14159262180328. Точность - 99,999998988204%

А если каждое построение делать, с линейкой и циркулем без расчета комп. Для такой точности вроде овчинка выдела не стоит. Или я неправа. Ведь отрезок равный 3.14159265 можно начертить за 2 минуты.

[Stas_S]

Gematria в сообщении #977921 писал(а):

Stas_S в сообщении #972390 писал(а):

Вот результат работы,
построение № 1 000 000 000 000 000 000 - 3,14159262180328. Точность - 99,999998988204%

А если каждое построение делать, с линейкой и циркулем без расчета комп. Для такой точности вроде овчинка выдела не стоит. Или я неправа. Ведь отрезок равный 3.14159265 можно начертить за 2 минуты.

Вы абсолютно правы!!
Но здесь нет построения отрезка, а есть неожиданное возникновение Пи, при совершенно "невинном" построении, да и самого отрезка тут нет, а есть "виртуальная разность радиусов"....

[Aritaborian]

Stas_S в сообщении #977878 писал(а):

Опять же, грубый подсчет "суммы этих сумм" (оба ряда сложить) довольно близко подступает к $2\varphi^2=5,23606$ (1,618... Золотое). Расхождение всего 0,0027757....... (??????)

А компьютер человеку зачем? «Негрубый» подсчёт показывает, что результат далёк от этих цифр.

[Stas_S]

Aritaborian в сообщении #978180 писал(а):

А компьютер человеку зачем? «Негрубый» подсчёт показывает, что результат далёк от этих цифр.

5,23329226512504. Это есть результат Эксцеля. Если у Вас такой же - согласен, далековато. "Недостача" - 0,00277571237475271.

Надежда, что Пи с 40-ка знаками что-то сильно изменит, слабая, ... Доживем до понедельника...