Решить систему в целых числах.

[Imperator]

Найти все решения системы
$\left\{ \begin{array}{l} x+y+z = 3\\ x^3+y^3+z^3 = 3 \end{array} \right.$
в целых числах $x$, $y$, $z$.

[worm2]

Вроде бы кроме (1,1,1) и перестановок (4,4,-5) целых решений нет.

Добавлено спустя 35 минут 19 секунд:

Я решал так: переписал систему в виде

$$\left\{ \begin{array}{lll} p+q+r&=&0\\ p^3+q^3+r^3&=&-3(p^2+q^2+r^2)\\ \end{array} \right.$$

,
где p = x-1, q = y-1, r = z-1.
Из 1-го уравнения выражаем r через p и q и подставляем во 2-е. После преобразований получаем:

$$pq = 2p+2q - 4 + \frac{8}{p+q+2}$$

,
поэтому (p+q+2)|8, откуда уже видно конечное множество возможных значений p+q. Дальше нет ничего интересного --- тупой (ну или немножко оптимизированный) перебор конечного числа вариантов.

[maxal]

Перенесем $x$ в правую часть, возведем первое уравнение в куб и вычтем второе, получаем:

$$3yz(y+z)=9x^2 - 27x + 24$$

или

$$yz(3-x)=3x^2 - 9x + 8.$$

Заметим, что это равенство невозможно, если обе части равны нулю, а поэтому они не равны нулю и $3-x$ поэтому обязано делить $3x^2 - 9x + 8$. При этом остаток от деления многочлена $3x^2 - 9x + 8$ на $3-x$ равен 8 и, следовательно, $3-x$ является делителем этого числа. Таким образом, $3-x = \pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4$ или $\pm 8$, а $y$ и $z$ определяются как корни квадратного уравнения $t^2-(3-x)t+\frac{3x^2 - 9x + 8}{3-x}=0$, дискриминант которого обязан быть полным квадратом. Этим условиям удовлетворяет только $x=1$, $x=4$ и $x=-5$. Поэтому worm2 абсолютно прав.