2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Распределение "ограниченного" максимального элемента выборки
Сообщение08.02.2015, 16:59 


20/03/11
44
Доброго времени суток.

Не мог бы кто-нибудь проверить мои рассуждения?

Задача следующая: есть кусочно-непрерывное распределение на $[0,1]$ с плотностью $p$ и функцией распределения $P$.

Из неё выбирается n сэмплов и сортируется по возрастанию. (Ряд порядковых статистик.)

Требуется найти распределение максимального элемента не превышающего некую $t$, параметра.

В результате требуется функция $\Psi(t,x)$.

Мои рассуждения следующие:

1. Сначала посмотрим, сколько элеменов выбрки $k$ будет "слева" а какие "справа" от $t$.
Кажется, что $Pr( \mbox{слева ровно } k) = P^k(t)(1 - P(t))^{n-k}$.

2. Известно, что распределение максимума выборки определяется формулой $kP(x)^{k-1}p(x)$.

3. Пробуем совместить 1 и 2.
"Взвесим" с весами равными вероятностям что "налево" попадёт к элементов выражение 2.
При этом поскольку $P$ и $p$ идут вообще-то до 1, "обрежем" их на уровне $t$.

$\Psi(t,x) = \sum_{k=0}^n  P(t)^k(1 - P(t))^{n-k} k P_1(\frac{x}{P(t)})^{k-1} p_1 (\frac{x}{P(t)}) $.

Нижний индекс 1 означает, что функции обрезаются в 1. (Ну, они же отмасштабированы.)

Насколько это вообще похоже на правду? Что-то как-то кривовато выглядит на мой взгляд конструкция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение "ограниченного" максимального элемента выборки
Сообщение08.02.2015, 21:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3902
Ни на сколько не похоже, начиная с (1), где Вы забыли биномиальный коэффициент и заканчивая отсутствием плотности у искомого распределения.

Давайте формально. Есть $X_{(1)}\leqslant \ldots \leqslant X_{(n)}$ - вариационный ряд. Не очень понятно, правда, что такое "максимальный элемент, не превосходящий $t$" в ситуации, когда все элементы выборки окажутся больше $t$. Ну будем считать, что это нуль.

Заведём поэтому $X_{(0)}=0$ и пусть $\nu=\max\{k=0,1,\ldots,n~|~X_{(k)}\leqslant t\}$. Нас интересует распределение величины $Y=X_{(\nu)}$.

Во-первых, $\mathsf P(Y=0)=\mathsf P(\nu=0)=\mathsf P(X_{(1)}\geqslant t)=(1-P(t))^n$. Т.е. если так определить "максимальный элемент, не превосходящий $t$" в ситуации, когда все элементы выборки окажутся больше $t$, то ни о какой плотности распределения речи нет - функция распределения имеет скачок в нуле.

Найдём функцию распределения $Y$ при $x>0$.

При $0<x<t$
$$\mathsf P(Y < x) =\sum_{k=0}^n \mathsf P(\nu=k,\,X_{(k)}<x) = \sum_{k=0}^n \mathsf P(X_{(k)}<x,\, X_{(k+1)}\geqslant t)=\sum_{k=0}^n C_n^k P^k(x) (1-P(t))^{n-k}.$$
При $x\geqslant t$ функция распределения равна, как и должно быть, единице.

Т.е. при произвольном фиксированном $t>0$ искомое распределение есть смесь вырожденного распределения в нуле (с весом $(1-P(t))^n$) и абсолютно непрерывного распределения (c весом $1-(1-P(t))^n$). У этой абсолютно непрерывной компоненты плотность на $(0,\,t)$ равна
$$p_Y(x)=\dfrac{1}{1-(1-P(t))^n}\sum_{k=1}^n C_n^k kP^{k-1}(x)p(x) (1-P(t))^{n-k}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение "ограниченного" максимального элемента выборки
Сообщение09.02.2015, 01:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1211
Самара
Можно еще так рассуждать. Для $x\in[0,t]$
$$
\Prob\left\{Y\leqslant x\right\}=\Prob\left(\bigcap_{k=1}^n\left\{X_k\notin(x,t]\right\}\right)=
\prod_{k=1}^n\Prob\left\{X_k\notin(x,t]\right\}
=\big(1-\left[P(t)-P(x)\right]\big)^n.
$$

PS Кстати, а что такое ''кусочно-непрерывное распределение с плотностью''?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение "ограниченного" максимального элемента выборки
Сообщение09.02.2015, 02:01 


20/03/11
44
Спасибо огромное. Кажется, это то что надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение "ограниченного" максимального элемента выборки
Сообщение09.02.2015, 07:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3902
Ну да, бином Ньютона :mrgreen:

(Оффтоп)

Тоже хотела спросить, да забыла. Наверное, ТС полагает, что если плотность кусочно-непрерывна, то и распределение таково же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение "ограниченного" максимального элемента выборки
Сообщение09.02.2015, 16:23 


20/03/11
44
Цитата:
Наверное, ТС полагает, что если плотность кусочно-непрерывна, то и распределение таково же.


А когда это неверно? Интегрирование же не ухудшает свойств функции.

Добавка: под "кусочно-непрерывным распределением" я имел в виду распределение с кусочно-непрерывной плотностью. Я потом заметил, что некорректно написано, но уже отредактировать было нельзя. Если есть кусочно-непрерывная плотность, то распределение не то что кусочно-непрерывное, оно просто непрерывное быть должно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение "ограниченного" максимального элемента выборки
Сообщение09.02.2015, 17:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1211
Самара
Если говорим о любой плотности, то распределение абсолютно-непрерывно. Это сильнее непрерывности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group