Распределение "ограниченного" максимального элемента выборки

[Lockywolf]

Доброго времени суток.

Не мог бы кто-нибудь проверить мои рассуждения?

Задача следующая: есть кусочно-непрерывное распределение на $[0,1]$ с плотностью $p$ и функцией распределения $P$.

Из неё выбирается n сэмплов и сортируется по возрастанию. (Ряд порядковых статистик.)

Требуется найти распределение максимального элемента не превышающего некую $t$, параметра.

В результате требуется функция $\Psi(t,x)$.

Мои рассуждения следующие:

1. Сначала посмотрим, сколько элеменов выбрки $k$ будет "слева" а какие "справа" от $t$.
Кажется, что $Pr( \mbox{слева ровно } k) = P^k(t)(1 - P(t))^{n-k}$.

2. Известно, что распределение максимума выборки определяется формулой $kP(x)^{k-1}p(x)$.

3. Пробуем совместить 1 и 2.
"Взвесим" с весами равными вероятностям что "налево" попадёт к элементов выражение 2.
При этом поскольку $P$ и $p$ идут вообще-то до 1, "обрежем" их на уровне $t$.

$\Psi(t,x) = \sum_{k=0}^n P(t)^k(1 - P(t))^{n-k} k P_1(\frac{x}{P(t)})^{k-1} p_1 (\frac{x}{P(t)}) $.

Нижний индекс 1 означает, что функции обрезаются в 1. (Ну, они же отмасштабированы.)

Насколько это вообще похоже на правду? Что-то как-то кривовато выглядит на мой взгляд конструкция.

[--mS--]

Ни на сколько не похоже, начиная с (1), где Вы забыли биномиальный коэффициент и заканчивая отсутствием плотности у искомого распределения.

Давайте формально. Есть $X_{(1)}\leqslant \ldots \leqslant X_{(n)}$ - вариационный ряд. Не очень понятно, правда, что такое "максимальный элемент, не превосходящий $t$" в ситуации, когда все элементы выборки окажутся больше $t$. Ну будем считать, что это нуль.

Заведём поэтому $X_{(0)}=0$ и пусть $\nu=\max\{k=0,1,\ldots,n~|~X_{(k)}\leqslant t\}$. Нас интересует распределение величины $Y=X_{(\nu)}$.

Во-первых, $\mathsf P(Y=0)=\mathsf P(\nu=0)=\mathsf P(X_{(1)}\geqslant t)=(1-P(t))^n$. Т.е. если так определить "максимальный элемент, не превосходящий $t$" в ситуации, когда все элементы выборки окажутся больше $t$, то ни о какой плотности распределения речи нет - функция распределения имеет скачок в нуле.

Найдём функцию распределения $Y$ при $x>0$.

При $0<x<t$

$$\mathsf P(Y < x) =\sum_{k=0}^n \mathsf P(\nu=k,\,X_{(k)}<x) = \sum_{k=0}^n \mathsf P(X_{(k)}<x,\, X_{(k+1)}\geqslant t)=\sum_{k=0}^n C_n^k P^k(x) (1-P(t))^{n-k}.$$

При $x\geqslant t$ функция распределения равна, как и должно быть, единице.

Т.е. при произвольном фиксированном $t>0$ искомое распределение есть смесь вырожденного распределения в нуле (с весом $(1-P(t))^n$) и абсолютно непрерывного распределения (c весом $1-(1-P(t))^n$). У этой абсолютно непрерывной компоненты плотность на $(0,\,t)$ равна

$$p_Y(x)=\dfrac{1}{1-(1-P(t))^n}\sum_{k=1}^n C_n^k kP^{k-1}(x)p(x) (1-P(t))^{n-k}.$$

[Henrylee]

Можно еще так рассуждать. Для $x\in[0,t]$

$$ \Prob\left\{Y\leqslant x\right\}=\Prob\left(\bigcap_{k=1}^n\left\{X_k\notin(x,t]\right\}\right)= \prod_{k=1}^n\Prob\left\{X_k\notin(x,t]\right\} =\big(1-\left[P(t)-P(x)\right]\big)^n. $$

PS Кстати, а что такое ''кусочно-непрерывное распределение с плотностью''?

[Lockywolf]

Спасибо огромное. Кажется, это то что надо.

[--mS--]

Ну да, бином Ньютона

(Оффтоп)

Тоже хотела спросить, да забыла. Наверное, ТС полагает, что если плотность кусочно-непрерывна, то и распределение таково же.

[Lockywolf]

Цитата:

Наверное, ТС полагает, что если плотность кусочно-непрерывна, то и распределение таково же.

А когда это неверно? Интегрирование же не ухудшает свойств функции.

Добавка: под "кусочно-непрерывным распределением" я имел в виду распределение с кусочно-непрерывной плотностью. Я потом заметил, что некорректно написано, но уже отредактировать было нельзя. Если есть кусочно-непрерывная плотность, то распределение не то что кусочно-непрерывное, оно просто непрерывное быть должно.

[Henrylee]

Если говорим о любой плотности, то распределение абсолютно-непрерывно. Это сильнее непрерывности.