Компьютерное моделирование двухщелевого эксперимента

[amon]

ArtDen в сообщении #975411 писал(а):

Есть подозрение, что для начального состояния неподвижной частицы можно использовать формулу от amon вот отсюда: post971333.html#p971333 (поставив в неё произвольное ненулевое время). Но мне нужна движущаяся частица.

Так и сделайте, только время подставьте маленькое. То, что было написано - волновая функция точечного источника. В двумерии она такая: $\Psi(x,y,t)=\frac{m}{2\pi i \hbar t}\exp\left(\frac{im(x^2+y^2)}{2\hbar t}\right)$.

[arseniiv]

ArtDen в сообщении #975411 писал(а):

(яркостью кодируется абсолютное значение, цветом - фаза).

Может, фазу в цвета отображать немного по-другому? Если сравнить формулу с картинкой, как будто у вас пары разных значений фазы дают один цвет.

(Предложение функции преобразования комплексного числа в цвет.)

Если сопоставить аргументу значение hue из HSV, получится тоже не очень, т. к. воспринимаемая яркость цвета зависит не только от HSV value, но и от hue. Это можно исправить, считая что-то такое:

$$f(v,x,y) = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}v + \left( \frac14 - \left( v - \frac12 \right)^2 \right)\begin{bmatrix} -0{,}14861 & 1{,}78277 \\ -0{,}29227 & -0{,}90649 \\ 1{,}97294 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}.$$

Точно не скажу, из каких соображений эта функция, возвращающая компоненты цвета в пространстве sRGB, имеет такой вид, но вот что она делает: при $v = 0$ выдаёт чёрный, при $v = 1$ — белый, при промежуточных значениях $v$ даёт цвета какой-то промежуточной, но, главное, одинаковой яркости (если пренебрегать некоторыми эффектами; в любом случае данное приближение много лучше работы HSV). Параметры $x,y$ изменяются в пределах $[-1;1]$, и $\arctg_2(x,y)$ определяет оттенок цвета.

На основе $f$ можно построить функцию, «красящую» комплексные числа, например, так:

$$g(z) = \begin{cases} [1,1,1]^t, &\text{если } |z|=0, \\ f\left(1-|z|/r_0, \frac{\operatorname{Re}z}{|z|}, \frac{\operatorname{Im}z}{|z|}\right) &\text{иначе}. \end{cases}$$

Данная обрабатывает числа только с модулем меньше $r_0$, сопоставляя всем числам с $|z| = r_0$ чёрный, нулю белый, и всем остальным цвета с яркостью, зависящей только от $|z|$ и оттенком, зависящим только от $\arg z$. О воспринимаемой равномерности зависимостей ничего не скажу, да и в любом случае легенду прилагать стоит.

Вот пример работы $g$; по вертикали отложен аргумент (ноль по краям), по горизонтали — модуль (слева ноль, справа $r_0$):

[Munin]

ArtDen в сообщении #975411 писал(а):

Если верить вики
, то упрощённая формула волнового пакета с круговой частотой $\omega_0$ и импульсом $p$ для каждой точки пространства $r$ в момент времени $t$ такая

Берите гауссовский пакет.

[ArtDen]

arseniiv
Отлично. Спасибо за формулу! Только я сделал чтобы чёрный соответствовал $|z|=0$, а белый - $|z|=1$, т.е. фактически вызываю ф-цию как $f(|z|, \frac{\operatorname{Re}z}{|z|}, \frac{\operatorname{Im}z}{|z|})$. Мне почему-то так привычнее.

Картинка при этом получается вот такая:

[Munin]

С цветами у вас уже есть идеи, а вот с яркостью: предлагаю сначала брать логарифм модуля, а потом уже превращать модуль в яркость. Тогда шкала не будет ограничена слишком острым пиком, и будет виднее всякие области с малым модулем.

[ArtDen]

Munin
В общем-то тонкости отображения - это сейчас не самое важное. Мне важно получить рабочую устойчивую схему. Как только она заработает, можно будет поиграться с отображением, в том числе отображать всё это с логарифмом модуля.

[Утундрий]

Вы Кунина хоть открывали?

[ArtDen]

Утундрий, открывал. Осваиваюсь потихоньку )

[Утундрий]

Так и берите оттуда готовую схему. Она, правда, одномерная по пространству, но обобщить труда не составит.

[Munin]

ArtDen в сообщении #975650 писал(а):

Мне важно получить рабочую устойчивую схему.

Тогда шашкаживайте, как у вас эта в. ф. эволюционирует, чего вы нам одиночную картинку показываете?

[ArtDen]

Munin
Я же уже писал, что модель расходится, т.к. применяться прямая схема. Волновой пакет движется, а потом через какое-то количество шагов - раз и всё портится (почти как у arseniiv в той теме, только более драматично :) ). Как дойдут руки (надеюсь, уже сегодня), сделаю неявную схему, которая не должна расходится и покажу видео.

Утундрий
Вы писали, что у Кунина описана схема лучше неявной. Какая именно имелась ввиду?

[Утундрий]

Сохраняющая унитарность.

[abelor]

Дико извиняюсь, что решаюсь вставить свои 5 копеек в беседу таких титанов (не побоюсь этого слова, даже кипятильников, как Утундрий и Munin). :)))

Вот объясните мне, неразумному, товарищи титаны, зачем в данном случае чесать правой рукой левое ухо? Что, картинка будет другая, если просто решить ур-е Шредингера и нарисовать графики в той же "Mathematica" ? Что тут и демонстрировал не так давно один из новоявленных титанов, утверждавший попутно, что вся КМ - это уравнение Ш, и ловить тут нечего...

Ведь что интересно, обсуждать принципиальные вопросы оснований КМ желающих почему-то не находится, а вот обсуждать всякую ерунду на десятках страниц на уровне 3-го курса физфака - желающих море!

[Munin]

abelor в сообщении #975961 писал(а):

Вот объясните мне, неразумному, товарищи титаны, зачем в данном случае чесать правой рукой левое ухо? Что, картинка будет другая, если просто решить ур-е Шредингера и нарисовать графики в той же "Mathematica" ?

Во-первых, приятно убедиться, что такая же.

Во-вторых, есть очень много условий, в которых решить уравнение Шрёдингера аналитически труднее, чем численно. Скажем, то же падение гауссовского волнового пакета на такую заковыристую границу области, как в post971397.html#p971397 .

abelor в сообщении #975961 писал(а):

Ведь что интересно, обсуждать принципиальные вопросы оснований КМ желающих почему-то не находится, а вот обсуждать всякую ерунду на десятках страниц на уровне 3-го курса физфака - желающих море!

А может, наоборот, так называемые "принципиальные вопросы оснований" - это ерунда, а вот поведение волнового пакета в реальных потенциалах и граничных условиях - это как раз физика и жизнь?

[мат-ламер]

Я не понял, какая размерность модельной задачи? И как моделируется проход через щели?