Компьютерное моделирование двухщелевого эксперимента

[arseniiv]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #971397 писал(а):

Вот, оказывается, там цитировались картинки из книги
Visual Quantum Mechanics
http://www.uni-graz.at/imawww/vqm/

О, там даже есть пакет для M.. Надо будет посмотреть!

[Taus]

Sicker, это можно легко проверить. Знаете про лемму Римана-Лебега? Нужно только интеграл немного преобразовать к подходящему виду.

[Sicker]

нет

[ArtDen]

Munin в сообщении #971800 писал(а):

Как я уже говорил, есть два типа людей: те, которые ещё не слушали курсов ураматов и чисметодов, и те, которые уже слушали. ... Вы какого типа?

Если учесть, что я эти предметы успешно прогулял (о чем сейчас сильно жалею), то я отношу себя к первым. Поэтому сейчас приходится наверстывать упущенное

[amon]

Sicker,
Давайте считать, что $x_0=t_0=0$, а все $\hbar$ и прочие $m$ равны единице (ленив я). Попробуем решить такую задачу.

$$\begin{align} &i\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-\frac{1}{2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}\\ &\Psi(x,0)=\delta(x) \end{align}$$

Если ответ совпадет с моим (Фейнмановским), то, видимо, Ваши сомнения безосновательны.

Сделаем преобразование Фурье по $x$ и получим

$$\begin{align} &i\frac{d\Psi}{d t}=\frac{k^2}{2}\Psi\\ &\Psi(k,0)=1 \end{align}$$

Отсюда $\Psi(k,t)=\exp(-ik^2t/2)$. Значит $\Psi(x,t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp(-ik^2t/2-ikx)\frac{dk}{2\pi}$ Этот интеграл удивительным образом сходится и считается, и в ответе получается
$\Psi(x,t)=G(x,t)$.

[Munin]

ArtDen в сообщении #971977 писал(а):

Если учесть, что я эти предметы успешно прогулял (о чем сейчас сильно жалею), то я отношу себя к первым. Поэтому сейчас приходится наверстывать упущенное

Отлично, значит, вы знаете, в какую сторону копать, какие учебники гуглить и ботать.

[ArtDen]

Я тут приболел и решил начать с изучения уравнения Шредингера из вики. Причем мне начинает казаться, что я начинаю его понимать На всякий случай я уточню, чтобы быть уверенным, что я понимаю правильно.
Предположим, что в пространстве движется частица с известной массой. Для упрощения будем считать, что на частицу не действуют внешние силы и она движется по инерции. Допустим, что в данный момент времени в каждой точке пространства мы имеем значение функции Шредингера для нашего случая с частицей. Правильно ли я понимаю, что владея информацией о функции Шреденгера в каждой точке пространства в конкретный момент времени, всегда можно рассчитать значения этой функции в пространстве в последующие моменты?

[Утундрий]

Да, для этого необходимо знание только самой функции. Что довольно очевидно, вследствие наличия в уравнении частных производных по времени не выше первого порядка.

[ArtDen]

Т.е. информация о скорости и направлении частицы содержится в значениях самой функции?

[Утундрий]

Не о скорости, не о направлении и даже не о местоположении. Не содержится и не в значениях. А в остальном всё правильно.

[ArtDen]

Хорошо, тогда спрошу так. Если мы имеем значения фунции Шредингера в конкретный момент времени и можем по нему рассчитать значения функции в последующие моменты, то единственная информация о движущейся частице, которую мы должны для этого задать - это масса частицы?

-- 05.02.2015, 15:47 --

Поправлюсь. Под функцией Шредингера стоит понимать волновую функцию, рассчитанную через уравнение Шредингера

[Munin]

ArtDen в сообщении #974006 писал(а):

Т.е. информация о скорости и направлении частицы содержится в значениях самой функции?

Да.

Если посмотреть на модуль волновой функции, то он показывает вероятность обнаружить частицу в разных точках пространства. Где больше модуль - там "больше" частицы. В волновом пакете, вся частица "сосредоточена" в области пакета.

Теперь, если посмотреть на фазу волновой функции, то она показывает на скорость "перетекания" этой вероятности в пространстве - то есть, на скорость самой частицы. Для этого, фаза должна меняться в пространстве - должен быть градиент фазы. Там, где фаза меняется быстро - там скорость частицы большая. Там, где фаза меняется медленно - скорость частицы малая. В трёхмерном пространстве, градиент - вектор, и поэтому указывает направление движения.

[ArtDen]

Отлично! Задача начинает проясняться. Оказывается, все не так сложно, как представлялось при первом взгляде на уравнение Шредингера. Тогда остается добраться до компьютера, подобрать метод моделирования, придумать как задавать значения волновой функции двужущийся частицы в начальный момент времени и как понять, что получившийся результат - не лажа.

[ArtDen]

Начал пробовать явный метод - он также расходится со временем, как у остальных в той теме по моделированию в Matematica. Так что осваиваю неявные методы.
Затруднение в другом. Не могу понять, как правильно задавать волновой пакет частицы для первоначального момента времени.
Если верить вики, то упрощённая формула волнового пакета с круговой частотой $\omega_0$ и импульсом $p$ для каждой точки пространства $r$ в момент времени $t$ такая:

$\psi(r,t)=B\exp\big(-i(\omega_0 t-k_0 r)\big)$
где
$B = A \frac{\sin \xi} \xi$, \xi=\frac{\Delta k} 2\ (r-\omega_0' t)$, $k_0=\frac p \hbar $

Мне не совсем понятно, как задавать $\Delta k$. Пробовал делать $\Delta k = k_0$, вроде что-то рисует, но непонятно, похоже это на правду или нет. Например, для частицы с массой электрона, движущегося со скоростью 10 м/с, на плоскости 1мм х 1 мм картинка получается такая:

(яркостью кодируется абсолютное значение, цветом - фаза).
Может надо использовать другие способы задания начального волнового пакета?

-- 08.02.2015, 17:35 --

Есть подозрение, что для начального состояния неподвижной частицы можно использовать формулу от amon вот отсюда: post971333.html#p971333 (поставив в неё произвольное ненулевое время). Но мне нужна движущаяся частица.

[Утундрий]

Воспользуйтесь преобразованием Галилея.