Доказть сущесвование множества

[Maviru]

Дано (X,+,0), где X - множество, + - функция из X*X на X, $0\in X$. $Y\subseteq X$ называется соизмеримым , если $0\in Y$ и для всех $a,b\in Y a+b\in Y$. Конечно X - соизмеримое.

Пусть $0\neq a\in X$ .Пусть $Y_0\subseteq X$ соизмеримое и для него верно $ a\notin Y_0$. Докажите , что существует соизмеримое $Y_0\subseteq Y$ , для которого верно $a\notin Y$ и для каждого соизмеримого Z, для которого верно $a\notin Z$ и $Y\subseteq Z$ ,выполняется $Z\subseteq Y$.

Решение (правильно?):

Обозначим $\Omega:=\{\alpha:$ соизмеримое $\alpha\subseteq X$, для которого верно $a\notin \alpha\}$

$\Omega\neq\Phi$ , т.к. $Y_0\in \Omega \Rightarrow Y_0\subseteq \cup\Omega$

Т.к. все множества $\cup\Omega$ соизмеримые и не содержат a, то $a\notin\cup\Omega$. Т.е. $Y=\cup\Omega$.

Если Z соизмеримое мно-во, для которого верно $a\notin Z$, то $Z\subseteq Y$. А если $Y\subseteq Z$, то Z=Y.

[Профессор Снэйп]

Maviru писал(а):

Дано (X,+,0), где X - множество, + - функция из X*X на X, $0\in X$. $Y\subseteq X$ называется соизмеримым , если $0\in Y$ и для всех $a,b\in Y a+b\in Y$. Конечно X - соизмеримое.

Что-то я не понял. У вас множества к числам, а $+$ к сложению какое-нибудь отношение имеют? Или $X$ --- это множество произвольной природы, а $+$ --- это просто какая-то бинарная операция, не обязательно коммутативная, ассоциативная etc?

[Brukvalub]

Maviru писал(а):

и для каждого соизмеримого Z, для которого верно $a\notin Z$ и $Y\subseteq Z$ ,выполняется $Z\subseteq Y$.

Что-то здесь не так. Ведь тогда обязательно Y=Z

[Maviru]

Brukvalub писал(а):

Цитата:

Что-то здесь не так. Ведь тогда обязательно Y=Z

Да именно это и дано в задаче - я так поняла, что из этого утверждения следует доказать , что искомое множество Y единственное...Поэтому я выбрала в качестве Y объеденение множеств - уж оно то точно включит всё, что надо...и оно единсвенное такого рода, может быть я не правильно поняла вопрос?

Профессор Снэйп писал(а):

Цитата:

Maviru писал(а):
Дано (X,+,0), где X - множество, + - функция из X*X на X, . называется соизмеримым , если и для всех . Конечно X - соизмеримое.

Цитата:

Что-то я не понял. У вас множества к числам, а к сложению какое-нибудь отношение имеют? Или --- это множество произвольной природы, а --- это просто какая-то бинарная операция, не обязательно коммутативная, ассоциативная etc?

Именно эта часть относится к предыдущей задаче, которая решена...А в этой задаче написано, что дано мно-во , как в предыдущей задаче...Думаю, что X - множество произвольной природы, а + это просто какая-то бинарная операция, не обязательно коммутативная, ассоциативная etc. Операция + была дана, чтобы показать , что для любых двух елементов множества , их сумма , тоже принадлежит множеству...

[Brukvalub]

Скажу одно - какая-то "мутная" задача с не очень понятной формулировкой. Если толковать условие именно так, как это сделали Вы, то решено верно, но сама формулировка вызывает у меня недопонимание того, чего же на самом деле хотел автор задачи?

[незваный гость]

Мне представляется, там какая-то путаница обозначений в конце. По идее, требуется доказать существование максимального соизмеримого множества не содержащего $a$, то есть (подразумевая все множества соизмеримыми, а вложения множеств — нестрогими) $\forall a \ \forall Y_0: a \not \in Y_0 \ \exists Z:$ $a \not \in Z \ \wedge $ $ \forall Y \ (Y_0 \subset Y \wedge a \not \in Y) \Rightarrow Y \subset Z$

[Brukvalub]

незваный гость писал(а):

Мне представляется, там какая-то путаница обозначений в конце.

Я писал о том же, но Maviru настаивает, что задача формулируется именно так

[Maviru]

Вообще-то меня , тоже смутила "концовка", а потому, я предположила, что поняла вопрос неправильно и попросила Вас взглянуть на решение...Но, если предположить , что ошибся всё-таки наш лектор ,то моя задача выглядит так:

$\forall a \ \forall Y_0: a\not\in Y_0\ \exists Y: a\not\in Y\ \wedge Y_0\subseteq Y\ \wedge\ \forall Z \ ( Z\supseteq Y\ \wedge a\not\in Z\ ) \Rightarrow Z\subseteq Y$

И решена она верно?

[нг]

Maviru писал(а):

$\forall a \ \forall Y_0: a\not\in Y_0\ \exists Y: a\not\in Y\ \wedge Y_0\subseteq Y\ \wedge\ \forall Z \ ( {\bold {Z\supseteq Y}}\ \wedge a\not\in Z\ ) \Rightarrow Z\subseteq Y$

Выделенное место подозрительно

[Maviru]

Переписала задачу точно Оставлю решение как есть

У меня вопрос по ещё одной задаче - понятия не имею с чего начать решать , может на подобном примере объясните , как это сделать

Даны два множества

$A:=\{\ (x^2,-x, y, 3z): 0<x\leqslant2, 4<y\leqslant 6, 0<z\leqslant 1\}$
$B:=\{\ z\in C: |z|=1\}\times\{\ z\in C: |z|=1\}$

Построить обратную функцию из А на В и док-ть , что она такая. Дана такая подсказка :

$\{\ z\in \mathbb C: |z|=1\}=\{ (cos t,sin t):0<t\leqslant 2\pi\}$

[Gordmit]

Maviru писал(а):

Построить обратную функцию из А на В

Обратную к какой? Вроде никакой функции из B в А не задано...

Maviru писал(а):

Дана такая подсказка :

$\{\ z\in C: |z|=1\}=\{ (cos t< sin t):0<t\leqslant 2\pi\}$

Какая-то странная подсказка... Это же неверно (если, конечно, под $C$ подразумевается $\mathbb{C}$).

[Maviru]

Исправила опечатку в подсказке - спасибо. Теперь по поводу обратной функции... по определению если у меня есть биективная функция

$F:B\to A$

то тогда и только тогда существует обратная функция
$F^{-1}:A\to B$

такая, что

$\forall a\in A\;f^{-1} (f(a)) = a$ и $\forall b\in B\: f^{-1}(f(b)) = b$ (это надо будет использовать, чтобы доказать, что функция, которую я ,надеюсь, найду с Вашей помощью , обратная ?)

Поэтому, чтобы найти искомую функцию, надо сначала построить биекцию из В на А, а как это сделать я не знаю

[незваный гость]

Вам, видимо, надо построить не обратную, а обратимую функцию.

Maviru писал(а):

понятия не имею с чего начать решать

Начать нужно с биекции $f:[0.1) \times [0,1) \to [0,1)$. А потом применять её (и обратную к ней) многократно. Комбинируя со сжатием/растяжением и преобразованием, указанным в подсказке.

Вообще говоря, подсказка не вполне корректна. Эти два множества не равны. Ну да Бог с этим… Увлекательные дискуссии о природе чисел — не здесь.

А задача — нехитрый пример на то, что не все функции "беленькие и пушистые». А то в соседней теме обломками копий пол-года камин топить можно, столько наломали.

[Maviru]

Можно получить пример функции , с применением подсказки - не совсем понимаю, как её применить

[Henrylee]

Ввиду подсказки (незваный гость о некорректности сказал, поэтому знак "=" понимаем здесь как вз.одн.соотв.)

$$ B=\{(\cos t,\sin t,\cos s,\sin s)~:~0<t\leqslant 2\pi,0<s\leqslant 2\pi\} $$

Нетрудно построить биекцию $B\leftrightarrow (0,1]^2$.
Далее, нетрудно построить также биекцию $A\leftrightarrow (0,1]^3$.
Ну и остается установить биекцию между $(0,1]^2$ и $(0,1]^3$. Например, построив биекции с $(0,1]$, как рекомендовал незваный гость.