Движение заряда в немного неоднородном магнитном поле

[10110111]

Читая "Теорию поля" ЛЛ, я наткнулся на интересное утверждение про частицу, движущуюся в не вполне однородном магнитном поле:

Цитата:

... проникновение частицы в области достаточно сильного поля ($CH>p^2$) оказывается невозможным. При движении в направлении увеличивающегося поля радиус винтовой траектории убывает пропорционально $p_t/H$ (т.е. пропорционально $1/\sqrt H$), а ее шаг — пропорционально $p_l$. При достижении границы, на которой $p_l$ обращается в нуль, частица отражается от нее: продолжая вращаться в прежнем направлении, она начинает двигаться против градиента поля.

(Онлайн доступна HTML-копипаста этого параграфа ЛЛ, см. самый низ.) Я сначала пытался решить численно соответствующие уравнения движения, взяв магнитное поле $\vec H=\vec e_z \alpha z,\,\alpha=\operatorname{const}$, а начальную скорость частицы вдоль $\vec e_y$ с одновременным смещением вдоль $\vec e_z$. В итоге радиус действительно убывает, но мне ну никак не удавалось заставить её, как написано, отразиться от границы.

Подумав подольше, решил рассмотреть классический случай $m\ddot {\vec r}=\frac e c \dot{\vec r}\times \vec H$. Но тут оказалось вообще, что третье уравнение $\ddot z=0$. Т.о., в классическом режиме у нас вообще ни о каком не то что отражении, даже о изменении продольной скорости говорить не приходится! Однако ведь ничто нам не мешает выбрать начальные условия (продольный и поперечный полю импульсы — даже нерелятивистские!) такими, чтобы удовлетворить условию Ландафшица для отражения.

Что тут не так? Вроде утверждение о том, что частица не может проникнуть в область слишком большого поля выглядит здраво, поскольку иначе продольный импульс должен был бы стать мнимым. Но решение говорит совсем не то...

[mihiv]

Возможно потому, что Вы взяли поле, у которого $div\ne 0$.

[Legioner93]

"Белоусов Бурмистров Тернов Задачи по теоретической физике" 1.5.16 и 1.5.17 (про отражение как раз)

[10110111]

mihiv писал(а):

Возможно потому, что Вы взяли поле, у которого $div\ne0$.

То-то я никак не мог найти векторный потенциал, который бы дал мне такую напряжённость! Наверняка дело в этом. Спасибо за подсказку, вообще не думал проверять этот факт. Попробую взять пофизичнее поле.

Legioner93 писал(а):

"Белоусов Бурмистров Тернов Задачи по теоретической физике" 1.5.16 и 1.5.17 (про отражение как раз)

Вот это спасибо, как раз что нужно.

[Munin]

Напишите о результатах, интересно.

[10110111]

Результаты положительны: подставил поле диполя, и всё прекрасно сработало.

[Munin]

А если не поле диполя? Да и поле диполя, имхо, не самый простой вариант для расчёта.

[10110111]

Ну я и не аналитически рассчитывал :)

[DimaM]

Удобно взять аксиально-симметричное поле с $H_z=H_0(1+kz)$.

[Red_Herring]

DimaM в сообщении #975759 писал(а):

Удобно взять аксиально-симметричное поле с $H_z=H_0(1+kz)$.

Да, это удобно, если наплевать на дивергенцию. Если не наплевать то стоит IMHO взять еще $H_x=-kH_0x, H_y=0$, тогда $y$ полностью можно исключить придя к системе 2х ур-ний второго порядка, причем с одним известным интегралом.

Ну и даже в общем виде можно искать в виде асимптотических разложений по степеням $k\ll 1$.

[druggist]

(Оффтоп)

10110111 в сообщении #975355 писал(а):

При достижении границы, на которой обращается в нуль, частица отражается от нее: продолжая вращаться в прежнем направлении, она начинает двигаться против градиента поля.

На этом эффекте основана одна из архетипических магнитных ловушек для плазмы - "пробкотрон" (правильно, от слова пробка, она же, кажется, ловушка Будкера)

[Munin]

Red_Herring в сообщении #975777 писал(а):

Да, это удобно, если наплевать на дивергенцию. Если не наплевать то стоит IMHO взять еще $H_x=-kH_0x, H_y=0$,

Я так понял, DimaM именно это и подразумевал: указал одну из компонент, подразумевая, что остальные рассчитываются из неё и из условия аксиальной симметричности (у вас, кстати, её нет, надо симметризовать слегонца). А отнюдь не поле с ненулевой дивергенцией.

-- 09.02.2015 11:52:00 --

DimaM
Меня ещё заинтересовало влетание в поле с поперечными линиями поля.

[DimaM]

Red_Herring в сообщении #975777 писал(а):

Да, это удобно, если наплевать на дивергенцию.

Ровно наоборот: из дивергенции находится $H_r(r)$ с учетом аксиальной симметрии, и интегрируется движение частицы. Получается (при малом угле наклона линий) некоторая сохраняющаяся величина, именно $V_\perp^2/H$.
Нет ли здесь какого-нибудь сохраняющегося обобщенного момента импульса? На первый взгляд не видно (электрического поля нет).

Munin в сообщении #975790 писал(а):

Меня ещё заинтересовало влетание в поле с поперечными линиями поля.

Для простого случая параллельных линий поля (типа $H_z(x)$) выходит классический дрейф поперек направления поля и поперек направления градиента (в примере - вдоль $y$). Скорость дрейфа пропорциональна кинетической энергии частицы (в нерелятивистском случае) и величине градиента поля.

[Red_Herring]

DimaM в сообщении #975800 писал(а):

Ровно наоборот: из дивергенции находится $H_r(r)$ с учетом аксиальной симметрии, и интегрируется движение частицы.

Тогда нормально