Двойной примориал

[Ktina]

По анологии с двойным факториалом, определим двойной примориал:

$$a_0=1,\quad a_1=2,\quad a_n=p_n\cdot a_{n-2}\quad (p_n\text{- это n-ное простое число})$$

Найти все двойные примориалы, отличающиеся на 1 от квадрата целого числа, и доказать, что других нет.

[grizzly]

Моя неполная попытка. Разобью на несколько частей, одна пока осталась нерешённой.

Решения: 1, 2, 3, 10.
Ниже ЧП и НП -- это чётная и нечётная последовательности двойных примориалов, соответственно.

1) $a^2-1$ не может быть числом ЧП в силу банального противоречия чётности.

2) $a^2-1$ не может быть числом НП, кроме 3. Доказать не смог, сдаюсь. Отмечу, что несколько подряд идущих простых может обладать таким свойством:
$3\cdot 5\cdot 7\cdot 11 = 34^2-1$.
Вряд ли здесь возможно что-то специфическое именно для НП. С другой стороны, раз есть что-то нетривиальное в начале ряда, доказать, что потом оно не повторится, обычно сложнее.

3) $a^2+1$ не может быть числом НП или ЧП, кроме 1, 2, 10.
Это является простым следствием Утверждения Эйлера 4 (см. здесь):

wiki писал(а):

If $a$ and $b$ are relatively prime then every factor of $a^2 + b^2$ is a sum of two squares

и очевидного факта, что простое число вида $p=4m+3$ не может быть представлено в виде суммы двух квадратов.
Следовательно, мы можем надеяться найти представление в виде суммы квадрата и 1 в ЧП и НП только до появления первых сомножителей вида $p=4m+3$. Это даёт решения 1, 2, 10.

В последнем пункте применена тяжёлая артиллерия, но своими силами не получилось. П.2) остаётся нерешённым, а моя заслуга пока в поимке нужного факта из Вики и поддержании интереса к задаче.