Моя неполная попытка. Разобью на несколько частей, одна пока осталась нерешённой.
Решения: 1, 2, 3, 10.
Ниже ЧП и НП -- это чётная и нечётная последовательности двойных примориалов, соответственно.
1)

не может быть числом ЧП в силу банального противоречия чётности.
2)

не может быть числом НП, кроме 3. Доказать не смог, сдаюсь. Отмечу, что несколько подряд идущих простых может обладать таким свойством:

.
Вряд ли здесь возможно что-то специфическое именно для НП. С другой стороны, раз есть что-то нетривиальное в начале ряда, доказать, что потом оно не повторится, обычно сложнее.
3)

не может быть числом НП или ЧП, кроме 1, 2, 10.
Это является простым следствием Утверждения Эйлера 4 (см.
здесь):
wiki писал(а):
If

and

are relatively prime then every factor of

is a sum of two squares
и очевидного факта, что простое число вида

не может быть представлено в виде суммы двух квадратов.
Следовательно, мы можем надеяться найти представление в виде суммы квадрата и 1 в ЧП и НП только до появления первых сомножителей вида

. Это даёт решения 1, 2, 10.
В последнем пункте применена тяжёлая артиллерия, но своими силами не получилось. П.2) остаётся нерешённым, а моя заслуга пока в поимке нужного факта из Вики и поддержании интереса к задаче.