Берется ли интеграл? (тригонометрия+дробь)

[Kid Kool]

Столкнулся с таким интегралом, у меня подозрение, что он не выражается аналитически. Кто-нибудь знает?

$\int\limits_{0}^{2\pi} \frac {\sin(\lambda x)} {\sin(x)} dx = ?$,

где $\lambda$ - нецелое (можно рациональное), из интервала (0,1).

[Профессор Снэйп]

Ну вот, например, если $\lambda = 1/2$. Для такого $\lambda$ интеграл вроде бы очень даже берётся.

В произвольном случае --- не знаю.

[Brukvalub]

Kid Kool писал(а):

Столкнулся с таким интегралом, у меня подозрение, что он не выражается аналитически. Кто-нибудь знает?

$\int\limits_{0}^{2\pi} \frac {sin(\lambda x)} {sin(x)} = ?$,

Если по \lambda, то берется без усилий.

[Someone]

Расходится (полюс первого порядка в точке $\pi$).

Добавил. Да, Brukvalub прав, не указана переменная интегрирования. Мой ответ предполагает, что интегрируем по $x$.

[Профессор Снэйп]

Someone писал(а):

Расходится (полюс первого порядка в точке $\pi$).

Ой! Я, кажется, пределы интегрирования не заметил. Подумал, что речь о неопределённом интеграле идёт.

[незваный гость]

Someone писал(а):

Расходится (полюс первого порядка в точке $\pi$).

При нецелом $\lambda$.

Впрочем, при полуцелом $\lambda$ особенность в $\pi$ можно рассматривать в смысле главного значения. И считать интеграл равным 0. А вот при остальных…

[Someone]

незваный гость писал(а):

При нецелом $\lambda$

Там указано, что $\lambda\in(0,1)$.

[незваный гость]

Я тоже невнимательный, как и Профессор Снэйп… Но оговорка про 1/2 остаётся в силе.

[Someone]

незваный гость писал(а):

Но оговорка про 1/2 остаётся в силе.

Разумеется. Но это автор вопроса должен определить, устраивает ли его главное значение в смысле Коши.

[Kid Kool]

Someone писал(а):

незваный гость писал(а):

Но оговорка про 1/2 остаётся в силе.

Но это автор вопроса должен определить, устраивает ли его главное значение в смысле Коши.

Нет, главное значение в смысле Коши не устраивает, а интеграл действительно расходится. А первообразная все-таки не выражается аналитически, как я понял?

Интегрируем, конечно же, по x.

[Профессор Снэйп]

Kid Kool писал(а):

Нет, главное значение в смысле Коши не устраивает, а интеграл действительно расходится. А первообразная все-таки не выражается аналитически, как я понял?

Не знаю, как для произвольного $\lambda$, но для $\lambda = 1/2$ выражается.

[serpav]

Этот интеграл будет сходится только для $\lambda=k/2$, где $k -$ целое. Другое дело, если речь пойдет о пределах $0-3\pi /2$ или $0-5\pi /2$. Тогда можна говорить о каком-то интегрировании при любом $\lambda$.