2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Берется ли интеграл? (тригонометрия+дробь)
Сообщение23.01.2008, 20:39 
Столкнулся с таким интегралом, у меня подозрение, что он не выражается аналитически. Кто-нибудь знает?

$\int\limits_{0}^{2\pi} \frac {\sin(\lambda x)} {\sin(x)} dx = ?$,

где $\lambda$ - нецелое (можно рациональное), из интервала (0,1).

 
 
 
 
Сообщение23.01.2008, 20:53 
Аватара пользователя
Ну вот, например, если $\lambda = 1/2$. Для такого $\lambda$ интеграл вроде бы очень даже берётся.

В произвольном случае --- не знаю.

 
 
 
 
Сообщение23.01.2008, 21:17 
Аватара пользователя
Kid Kool писал(а):
Столкнулся с таким интегралом, у меня подозрение, что он не выражается аналитически. Кто-нибудь знает?

$\int\limits_{0}^{2\pi} \frac {sin(\lambda x)} {sin(x)} = ?$,
Если по \lambda, то берется без усилий.

 
 
 
 
Сообщение23.01.2008, 21:18 
Аватара пользователя
Расходится (полюс первого порядка в точке $\pi$).

Добавил. Да, Brukvalub прав, не указана переменная интегрирования. Мой ответ предполагает, что интегрируем по $x$.

 
 
 
 
Сообщение23.01.2008, 21:23 
Аватара пользователя
Someone писал(а):
Расходится (полюс первого порядка в точке $\pi$).


Ой! Я, кажется, пределы интегрирования не заметил. Подумал, что речь о неопределённом интеграле идёт.

 
 
 
 
Сообщение23.01.2008, 21:23 
Аватара пользователя
:evil:
Someone писал(а):
Расходится (полюс первого порядка в точке $\pi$).

При нецелом $\lambda$.

Впрочем, при полуцелом $\lambda$ особенность в $\pi$ можно рассматривать в смысле главного значения. И считать интеграл равным 0. А вот при остальных…

 
 
 
 
Сообщение23.01.2008, 21:25 
Аватара пользователя
незваный гость писал(а):
При нецелом $\lambda$


Там указано, что $\lambda\in(0,1)$.

 
 
 
 
Сообщение23.01.2008, 21:30 
Аватара пользователя
:evil:
Я тоже невнимательный, как и Профессор Снэйп… Но оговорка про 1/2 остаётся в силе.

 
 
 
 
Сообщение23.01.2008, 21:56 
Аватара пользователя
незваный гость писал(а):
Но оговорка про 1/2 остаётся в силе.


Разумеется. Но это автор вопроса должен определить, устраивает ли его главное значение в смысле Коши.

 
 
 
 
Сообщение24.01.2008, 02:20 
Someone писал(а):
незваный гость писал(а):
Но оговорка про 1/2 остаётся в силе.

Но это автор вопроса должен определить, устраивает ли его главное значение в смысле Коши.

Нет, главное значение в смысле Коши не устраивает, а интеграл действительно расходится. А первообразная все-таки не выражается аналитически, как я понял?

Интегрируем, конечно же, по x.

 
 
 
 
Сообщение24.01.2008, 13:58 
Аватара пользователя
Kid Kool писал(а):
Нет, главное значение в смысле Коши не устраивает, а интеграл действительно расходится. А первообразная все-таки не выражается аналитически, как я понял?


Не знаю, как для произвольного $\lambda$, но для $\lambda = 1/2$ выражается.

 
 
 
 
Сообщение24.01.2008, 17:04 
Этот интеграл будет сходится только для $\lambda=k/2$, где $k -$ целое. Другое дело, если речь пойдет о пределах $0-3\pi /2$ или $0-5\pi /2$. Тогда можна говорить о каком-то интегрировании при любом $\lambda$.

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group