Интегрирование параметрической функции

[matthewmatt]

Добрый день.
Такой вопрос по интегрированию.
Имеется интеграл: $I = {\left| {\int {{d^3}} {\text{s}}\delta \left( {{\text{s}} - {\text{S}}\left( t \right)} \right){\text{X}}\left( {\text{s}} \right)} \right|^2}$ , где функция $\[{{\text{S}}\left( t \right)}\]$ представляется в параметрическом виде через параметр $\[t\]$. Если брать интеграл через дельта-функцию, что остается в результате параметр $\[t\]$ , который по логике не должен оставаться по итогам интегрирования.
Хотелось бы поинтересоваться, какими методами можно провести интегрирование, чтобы избежать проблему с параметрическим видом задания функции $\[{{\text{S}}\left( t \right)}\]$.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

matthewmatt
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

matthewmatt в сообщении #974216 писал(а):

$\[{{\text{S}}\left( t \right)}\]$

сравните с $S(t)$ (мышкой наведите на терм)

[arseniiv]

matthewmatt в сообщении #974216 писал(а):

остается в результате параметр $t$ , который по логике не должен оставаться по итогам интегрирования

По какой логике? Например, я здесь вижу интегрирование по $s$, а по $t$ интегрирования не вижу — с чего бы ему не остаться?

[matthewmatt]

arseniiv в сообщении #974704 писал(а):

matthewmatt в сообщении #974216 писал(а):

остается в результате параметр $t$ , который по логике не должен оставаться по итогам интегрирования

По какой логике? Например, я здесь вижу интегрирование по $s$, а по $t$ интегрирования не вижу — с чего бы ему не остаться?

так как $t$ определяет координатную зависимость , а интегрирование как раз и ведется по координатам.

[Vince Diesel]

matthewmatt в сообщении #974216 писал(а):

Если брать интеграл через дельта-функцию, что остается в результате параметр $\[t\]$ , который по логике не должен оставаться по итогам интегрирования.
$\[{{\text{S}}\left( t \right)}\]$.

Если $t$ функция $s$, то стоит обозначить как-нибудь так: $\tilde S(s)=S(t(s))$, тогда в интеграле $t$ не будет. Если же вы имеет в виду что-то другое, то стоит это написать, а не надеяться, что кто-то догадается

[matthewmatt]

Vince Diesel в сообщении #974995 писал(а):

matthewmatt в сообщении #974216 писал(а):

Если брать интеграл через дельта-функцию, что остается в результате параметр $\[t\]$ , который по логике не должен оставаться по итогам интегрирования.
$\[{{\text{S}}\left( t \right)}\]$.

Если $t$ функция $s$, то стоит обозначить как-нибудь так: $\tilde S(s)=S(t(s))$, тогда в интеграле $t$ не будет. Если же вы имеет в виду что-то другое, то стоит это написать, а не надеяться, что кто-то догадается

вводя обозначение $S(t)$ я хотел сказать, что явно задать $S(t)$ можно только в параметрическом виде. соответственно, вопрос состоял в том, как быть с этим при интегрировании.
любая кривая в пространстве, например, подойдет.

[Vince Diesel]

Если носителем дельта-функции является кривая $\Gamma$, то будет криволинейный интеграл $|\int_\Gamma X\,dl|^2$.

[matthewmatt]

Vince Diesel в сообщении #975026 писал(а):

Если носителем дельта-функции является кривая $\Gamma$, то будет криволинейный интеграл $|\int_\Gamma X\,dl|^2$.

благодарю. попробую посчитать.

[matthewmatt]

Vince Diesel в сообщении #975026 писал(а):

Если носителем дельта-функции является кривая $\Gamma$, то будет криволинейный интеграл $|\int_\Gamma X\,dl|^2$.

поясните, пожалуйста, подобный переход.
у нас исходный интеграл трехмерный, размерность которого пусть будет ${{d^3}} {\text{s}}$. если мы смотрим $\int_\Gamma X\,dl$ , который при переходе к интегрированию по параметру $t$ дает
$\int\limits_a^b {f\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)\sqrt {{{\dot x}^2}\left( t \right) + {{\dot y}^2}\left( t \right) + {{\dot z}^2}\left( t \right)} dt}$ , мы получаем одномерный интеграл, размерность которого ${{d^1}} {\text{s}}$ . или тут должен стоять при Якобиане иной показатель степени, который уравнивает размерности ? верна ли такая процедура перехода при взятии интеграла по $t$ ?

[Vince Diesel]

Через дельта-функцию это же формальная запись. Какой получится интеграл, зависит от размерности поверхности, на которой дельта-функция обращается в ноль. Если в точке, то вообще $\int\delta(s-s_0)X(s)\,d^3s=X(s_0)$.

[matthewmatt]

Vince Diesel в сообщении #976399 писал(а):

Через дельта-функцию это же формальная запись. Какой получится интеграл, зависит от размерности поверхности, на которой дельта-функция обращается в ноль. Если в точке, то вообще $\int\delta(s-s_0)X(s)\,d^3s=X(s_0)$.

почему формальная запись? у нас сначала интеграл с дельта-функцией, где размерность одна (размерность пространства на размерность дельта-функции - обратная размерности пространства - на размерность подынтегральной функции) , мы переходим к криволинейному интегралу, где размерность - размерность пространства на размерность подынтегральной функции . размерность же должна сохраняться. плюс , когда мы переходим от криволинейного трехмерного интеграла к интегрированию по параметру, то размерность должна опять же сохраниться.

[Vince Diesel]

Вот тут

Vince Diesel в сообщении #976399 писал(а):

$\int\delta(s-s_0)X(s)\,d^3s=X(s_0)$.

с размерностью все в порядке? Мб размерность(?) дельта-функции, также зависит от размерности поверхности...

[matthewmatt]

Vince Diesel в сообщении #976815 писал(а):

Вот тут

Vince Diesel в сообщении #976399 писал(а):

$\int\delta(s-s_0)X(s)\,d^3s=X(s_0)$.

с размерностью все в порядке? Мб размерность(?) дельта-функции, также зависит от размерности поверхности...

я об этом и говорю. если это учитывать, то размерности не совпадают.
или я о чем-то не верно говорю? если да, то покажите, пожалуйста, на примере перехода от криволинейного интеграла к $\int\limits_a^b {f\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)\sqrt {{{\dot x}^2}\left( t \right) + {{\dot y}^2}\left( t \right) + {{\dot z}^2}\left( t \right)} dt}$ сохранение размерности.

[Vince Diesel]

Про размерность дельта-функции я ничего не знаю.

matthewmatt в сообщении #976926 писал(а):

если да, то покажите, пожалуйста, на примере перехода от криволинейного интеграла к $\int\limits_a^b {f\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)\sqrt {{{\dot x}^2}\left( t \right) + {{\dot y}^2}\left( t \right) + {{\dot z}^2}\left( t \right)} dt}$ сохранение размерности.

Тут записана параметризация криволинейного интеграла. Можно сказать, что это по определению $\int_\Gamma X\,dl$. Так что я не понял вопроса.

[matthewmatt]

Vince Diesel в сообщении #976977 писал(а):

Про размерность дельта-функции я ничего не знаю.

matthewmatt в сообщении #976926 писал(а):

если да, то покажите, пожалуйста, на примере перехода от криволинейного интеграла к $\int\limits_a^b {f\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)\sqrt {{{\dot x}^2}\left( t \right) + {{\dot y}^2}\left( t \right) + {{\dot z}^2}\left( t \right)} dt}$ сохранение размерности.

Тут записана параметризация криволинейного интеграла. Можно сказать, что это по определению $\int_\Gamma X\,dl$. Так что я не понял вопроса.

размерность дельта-функции - обратная к размерности аргумента.
вопрос:
$\int f(x,y,z) dl$ = $\int\limits_a^b {f\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)\sqrt {{{\dot x}^2}\left( t \right) + {{\dot y}^2}\left( t \right) + {{\dot z}^2}\left( t \right)} dt}$
слева трехмерный интеграл стоит , справа - одномерный. размерности же при переходе должны совпадать? должны. а они тут не совпадают. в чем ошибочность суждения?