Функциональное уравнение

[SomePupil]

Есть вещественнозначная функция $f(x)$, определенная на всех $x \geqslant 1$ и удовлетворяющая условиям: $f(1) = 1$ и $f'(x) = \frac{1}{x^2+(f(x))^2}$.
Найти эту функцию $f(x)$.

Я пытался как-то разделить переменные из данного уравнения, чтобы потом все поинтегрировать и найти эту функцию, но ничего не получилось. Помогите, пожалуйста.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[ewert]

Это -- уравнение Риккати для $x(f)$, притом нехорошее. Разделить не выйдет.

[ИСН]

Функциональные уравнения - это совсем, совсем другое.

[worm2]

$f'(1)=0.5$.
Правая часть дифференцируема, значит, и левая тоже. Взяв производную, можно получить $f''(1)=-0.75$.
Далее, теоретически можно показать, что функция бесконечно дифференцируема в единице, и получить для неё ряд Тейлора в этой точке. Если предположить аналитичность, то он будет однозначно определять функцию.